ZFC公理系统

自我从属正是引发罗素悖论的那种自我指涉;正则公理并非每次都通过导出矛盾来排除它,而是一次性地、作为集合如何被构造的结构性规则加以排除。这使数学家能够安全地在所属关系上定义归纳/递归,也正是普通数学中出现的集合从不包含自身的原因。

为导出矛盾,假设某集合 $x$ 满足 $x \in x$。

由配对公理,集合 $\{x\}$ 存在(把 $x$ 与自身配对)。该集合非空,因为它包含 $x$。

对非空集合 $\{x\}$ 应用正则公理:必存在 $y \in \{x\}$ 使得 $\{x\} \cap y = \emptyset$。但 $\{x\}$ 唯一的元素就是 $x$ 本身,故 $y = x$,结论变为 $\{x\} \cap x = \emptyset$。

现在回顾反证假设 $x \in x$。由于 $x \in \{x\}$(由配对的定义)且 $x \in x$(我们的假设),元素 $x$ 同时属于 $\{x\}$ 与 $x$,故 $x \in \{x\} \cap x$。这说明 $\{x\} \cap x$ 非空,与上面得到的 $\{x\} \cap x = \emptyset$ 直接矛盾。

这一矛盾说明假设 $x \in x$ 对任何集合 $x$ 都不可能成立;因此对每个集合 $x$,$x \notin x$ 成立,正如所声称的。

佐恩引理、选择公理与良序定理看起来完全不同——一个关于序与极大元,一个关于同时从许多集合中选取,一个关于没有无限下降的全序——但它们各自都体现了完全相同的底层能力:同时做出无限多个不受约束的选择。这正是代数学家用佐恩引理来证明存在性命题(极大理想、基、代数闭包)的原因,单独用选择公理表述会不那么方便。

我们证明选择公理 $\implies$ 佐恩引理(其余等价关系是标准的但更长;这个方向是代数中不断被使用的方向)。设 $(P, \le)$ 为非空偏序集,其中每条链在 $P$ 中都有上界,反证假设 $P$ 没有极大元。

由于 $P$ 没有极大元,每个 $x \in P$ 在 $P$ 中都有某个严格上界(某元素 $y$ 满足 $x < y$):否则该 $x$ 自身就是极大元。特别地,每条链 $C \subseteq P$(由假设)都有上界,而该上界本身又有严格上界,故每条链在 $P$ 中都有严格上界。

由选择公理,固定一个选择函数,为每条链 $C \subseteq P$ 选出链 $C$ 的某个严格上界 $g(C)$。利用 $g$,构造由所有序数 $\alpha$ 编号的超限序列 $(a_\alpha)$:设 $a_0 = g(\emptyset)$,对每个序数 $\alpha$,当 $a_\beta$ 已对所有 $\beta < \alpha$ 定义好后,集合 $\{a_\beta : \beta<\alpha\}$ 是一条链(按构造,每个新项都是之前所有项的严格上界),于是定义 $a_\alpha = g(\{a_\beta : \beta<\alpha\})$,它是之前所有项的严格上界。

这产生了一个从序数到 $P$ 的严格递增映射:$\alpha < \beta \implies a_\alpha < a_\beta$。但序数全体不构成集合(不存在"所有序数组成的集合"),而 $P$ 是普通集合;从序数到 $P$ 的严格递增映射会使序数的基数不超过 $P$,这与"没有集合能够单射到像所有序数那样大的集合"这一事实(替换公理的推论)相矛盾。这一矛盾说明"$P$ 没有极大元"的假设为假,故 $P$ 有极大元,从而由选择公理证明了佐恩引理。