伊藤引理

泰勒展开。对光滑的 $F$,在小步长 $\Delta t$(伴随 $\Delta W=W_{t+\Delta t}-W_t$)上关于两个变量的普通二阶泰勒展开为 $\Delta F\approx \partial_tF\,\Delta t+\partial_xF\,\Delta W+\tfrac12\partial_x^2F\,(\Delta W)^2+\tfrac12\partial_t^2F\,(\Delta t)^2+\partial_t\partial_xF\,\Delta t\,\Delta W+\cdots$——到此为止纯粹是微积分,对任何光滑路径都成立。

按量级排序各项。由于 $\Delta W$ 是 $\sqrt{\Delta t}$ 量级(而非 $\Delta t$,如前一定理所示),各项的量级为:$\partial_tF\,\Delta t$ 为 $\Delta t$ 量级;$\partial_xF\,\Delta W$ 为 $\sqrt{\Delta t}$ 量级(占主导的领头随机项);$(\Delta t)^2$ 与 $\Delta t\,\Delta W$ 分别为 $(\Delta t)^2$ 与 $(\Delta t)^{3/2}$ 量级,相对 $\Delta t$ 可忽略;但 $(\Delta W)^2$ 是 $\Delta t$ 量级——与 $\partial_tF\,\Delta t$同量级,完全不可忽略,这与普通微积分中 $(\Delta x)^2$ 相对 $\Delta x$ 总是可忽略不同。

用均值替换 $(\Delta W)^2$。由二次变差定理,在许多小步长上求和,$(\Delta W)^2$ 的表现如同 $\Delta t$(其均值,而围绕该均值的涨落随着步长缩小并求和而消失),这便是在无穷小步长极限下启发式替换规则 $(dW_t)^2=dt$ 的非正式依据。

取极限。舍去可忽略的高阶项,并在 $\Delta t\to0$ 的极限下代入 $(\Delta W)^2\to dt$,泰勒展开就恰好化为命题所述的微分形式 $dF=\Big(\partial_tF+\tfrac12\partial_x^2F\Big)dt+\partial_xF\,dW_t$——$\tfrac12\partial_x^2F\,dt$ 这一项正是普通微积分会舍弃、而随机微积分必须保留的贡献。