布朗运动与随机分析

这正是使随机分析成为必要的定理:它排除了像古典微积分处理 $dt$ 那样把 $dW_t$ 当作普通无穷小来处理,并证明了驱动下文伊藤引理的启发式规则 $(dW_t)^2=dt$ 是合理的。

二次变差。将 $[0,t]$ 分成 $n$ 个长度为 $t/n$ 的等分,令 $Q_n=\sum_{i=1}^n(W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2$。每一项 $(W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2$ 的均值为 $t/n$(因为增量为 $N(0,t/n)$),利用正态变量的四阶矩,其方差为 $2(t/n)^2$。将 $n$ 个这样独立的项求和,精确地有 $E[Q_n]=t$,且当 $n\to\infty$ 时 $\mathrm{Var}(Q_n)=2t^2/n\to0$,故 $Q_n\to t$ 依概率(以及均方)成立——这就证明了二次变差的等式。

处处不可微。反证法:假设 $W$ 在某点 $s$ 处可微,导数为有限值 $W'(s)=L$。那么对很小的 $h$,$W_{s+h}-W_s\approx Lh$,故在长度为 $h$ 的微小区间上,平方增量应为 $h^2$ 量级——但上面的二次变差计算表明,长度为 $h$ 的区间上典型平方增量是 $h$ 量级(对很小的 $h$ 而言远大于 $h^2$),而将这些 $h$ 量级的项在 $t/h$ 个区间上求和,恰好产生一个收敛到有限正数 $t$ 而非 $0$ 的总和。

这种矛盾——可微性将迫使二次变差为 $0$,但它被证明为 $t>0$——是不可调和的,因此不存在任何可微点;一个完整的测度论论证(1933年由佩利、维纳与齐格蒙德给出)通过直接界定任意点附近差商保持有界的概率,使这一点变得严格,表明该概率对路径上的每一点同时恰好为零。

这是随机分析中使用最频繁的工具:它准确告诉你如何对一个随机路径的函数求微分,是推导任何依赖于布朗运动的量(期权价格、物理可观测量)动态方程的出发点。

泰勒展开。对光滑的 $F$,在小步长 $\Delta t$(伴随 $\Delta W=W_{t+\Delta t}-W_t$)上关于两个变量的普通二阶泰勒展开为 $\Delta F\approx \partial_tF\,\Delta t+\partial_xF\,\Delta W+\tfrac12\partial_x^2F\,(\Delta W)^2+\tfrac12\partial_t^2F\,(\Delta t)^2+\partial_t\partial_xF\,\Delta t\,\Delta W+\cdots$——到此为止纯粹是微积分,对任何光滑路径都成立。

按量级排序各项。由于 $\Delta W$ 是 $\sqrt{\Delta t}$ 量级(而非 $\Delta t$,如前一定理所示),各项的量级为:$\partial_tF\,\Delta t$ 为 $\Delta t$ 量级;$\partial_xF\,\Delta W$ 为 $\sqrt{\Delta t}$ 量级(占主导的领头随机项);$(\Delta t)^2$ 与 $\Delta t\,\Delta W$ 分别为 $(\Delta t)^2$ 与 $(\Delta t)^{3/2}$ 量级,相对 $\Delta t$ 可忽略;但 $(\Delta W)^2$ 是 $\Delta t$ 量级——与 $\partial_tF\,\Delta t$同量级,完全不可忽略,这与普通微积分中 $(\Delta x)^2$ 相对 $\Delta x$ 总是可忽略不同。

用均值替换 $(\Delta W)^2$。由二次变差定理,在许多小步长上求和,$(\Delta W)^2$ 的表现如同 $\Delta t$(其均值,而围绕该均值的涨落随着步长缩小并求和而消失),这便是在无穷小步长极限下启发式替换规则 $(dW_t)^2=dt$ 的非正式依据。

取极限。舍去可忽略的高阶项,并在 $\Delta t\to0$ 的极限下代入 $(\Delta W)^2\to dt$,泰勒展开就恰好化为命题所述的微分形式 $dF=\Big(\partial_tF+\tfrac12\partial_x^2F\Big)dt+\partial_xF\,dW_t$——$\tfrac12\partial_x^2F\,dt$ 这一项正是普通微积分会舍弃、而随机微积分必须保留的贡献。