布朗运动具有正的二次变差且处处不可微

二次变差。将 $[0,t]$ 分成 $n$ 个长度为 $t/n$ 的等分,令 $Q_n=\sum_{i=1}^n(W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2$。每一项 $(W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2$ 的均值为 $t/n$(因为增量为 $N(0,t/n)$),利用正态变量的四阶矩,其方差为 $2(t/n)^2$。将 $n$ 个这样独立的项求和,精确地有 $E[Q_n]=t$,且当 $n\to\infty$ 时 $\mathrm{Var}(Q_n)=2t^2/n\to0$,故 $Q_n\to t$ 依概率(以及均方)成立——这就证明了二次变差的等式。

处处不可微。反证法:假设 $W$ 在某点 $s$ 处可微,导数为有限值 $W'(s)=L$。那么对很小的 $h$,$W_{s+h}-W_s\approx Lh$,故在长度为 $h$ 的微小区间上,平方增量应为 $h^2$ 量级——但上面的二次变差计算表明,长度为 $h$ 的区间上典型平方增量是 $h$ 量级(对很小的 $h$ 而言远大于 $h^2$),而将这些 $h$ 量级的项在 $t/h$ 个区间上求和,恰好产生一个收敛到有限正数 $t$ 而非 $0$ 的总和。

这种矛盾——可微性将迫使二次变差为 $0$,但它被证明为 $t>0$——是不可调和的,因此不存在任何可微点;一个完整的测度论论证(1933年由佩利、维纳与齐格蒙德给出)通过直接界定任意点附近差商保持有界的概率,使这一点变得严格,表明该概率对路径上的每一点同时恰好为零。