开普勒第二定律(面积速度不变定律)

定义$\mathbf h = \mathbf r\times\dot{\mathbf r}$。求导得$\dot{\mathbf h} = \dot{\mathbf r}\times\dot{\mathbf r} + \mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = \mathbf 0 + \mathbf r\times\ddot{\mathbf r}$(第一项为零,因为任何矢量与自身叉乘恒为零)。对于有心力,$\ddot{\mathbf r}$平行于$\mathbf r$——记某标量函数$f$使$\ddot{\mathbf r} = f(r)\hat{\mathbf r}$——于是$\mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = f(r)\,\mathbf r\times\hat{\mathbf r} = \mathbf 0$同样成立。因此$\dot{\mathbf h} = \mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = -\dfrac{GM}{r^{3}}(\mathbf r\times\mathbf r) = \mathbf 0$:$\mathbf h$是一个固定矢量,大小和方向均不变。

由于$\mathbf h$方向固定,且$\mathbf h = \mathbf r\times\dot{\mathbf r}$始终垂直于$\mathbf r$,位置矢量$\mathbf r$将永远被限制在垂直于$\mathbf h$的单一固定平面内——运动是平面的。在该平面内建立极坐标$(r,\theta)$。写出$\mathbf r = r\hat{\mathbf r}$与$\dot{\mathbf r} = \dot r\hat{\mathbf r} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta}$,叉乘给出$\mathbf h = r\hat{\mathbf r}\times(\dot r\hat{\mathbf r}+r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta}) = r^{2}\dot\theta\,\hat{\mathbf z}$,故标量$h=r^{2}\dot\theta$本身也是常数。

在时间$dt$内,径矢扫过一个近似三角形的薄扇形,其面积为$dA = \tfrac12 r\cdot(r\,d\theta) = \tfrac12 r^{2}\,d\theta$(底边$r\,d\theta$,高$r$,三角形系数$\tfrac12$)。除以$dt$恰好得到$\dfrac{dA}{dt} = \dfrac12 r^{2}\dot\theta = \dfrac{h}{2}$。由于$h$为常数,面积扫描速率$dA/dt$对一切时间都保持不变——相等的时间扫过相等的面积,开普勒第二定律得证。$\blacksquare$