天体力学:二体问题与三体问题

这就是开普勒第二定律,下面的证明表明它与引力具体的平方反比形式无关——它仅由力是有心力(与位置矢量平行)这一事实推出,因此对任何有心力(无论是否为引力)都同样成立。

定义$\mathbf h = \mathbf r\times\dot{\mathbf r}$。求导得$\dot{\mathbf h} = \dot{\mathbf r}\times\dot{\mathbf r} + \mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = \mathbf 0 + \mathbf r\times\ddot{\mathbf r}$(第一项为零,因为任何矢量与自身叉乘恒为零)。对于有心力,$\ddot{\mathbf r}$平行于$\mathbf r$——记某标量函数$f$使$\ddot{\mathbf r} = f(r)\hat{\mathbf r}$——于是$\mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = f(r)\,\mathbf r\times\hat{\mathbf r} = \mathbf 0$同样成立。因此$\dot{\mathbf h} = \mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = -\dfrac{GM}{r^{3}}(\mathbf r\times\mathbf r) = \mathbf 0$:$\mathbf h$是一个固定矢量,大小和方向均不变。

由于$\mathbf h$方向固定,且$\mathbf h = \mathbf r\times\dot{\mathbf r}$始终垂直于$\mathbf r$,位置矢量$\mathbf r$将永远被限制在垂直于$\mathbf h$的单一固定平面内——运动是平面的。在该平面内建立极坐标$(r,\theta)$。写出$\mathbf r = r\hat{\mathbf r}$与$\dot{\mathbf r} = \dot r\hat{\mathbf r} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta}$,叉乘给出$\mathbf h = r\hat{\mathbf r}\times(\dot r\hat{\mathbf r}+r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta}) = r^{2}\dot\theta\,\hat{\mathbf z}$,故标量$h=r^{2}\dot\theta$本身也是常数。

在时间$dt$内,径矢扫过一个近似三角形的薄扇形,其面积为$dA = \tfrac12 r\cdot(r\,d\theta) = \tfrac12 r^{2}\,d\theta$(底边$r\,d\theta$,高$r$,三角形系数$\tfrac12$)。除以$dt$恰好得到$\dfrac{dA}{dt} = \dfrac12 r^{2}\dot\theta = \dfrac{h}{2}$。由于$h$为常数,面积扫描速率$dA/dt$对一切时间都保持不变——相等的时间扫过相等的面积,开普勒第二定律得证。$\blacksquare$

这直接把轨道大小与完成一圈所需时间联系起来,且与离心率无关——天文学家每次通过测量较小天体绕转周期来“称量”恒星或行星质量时都会用到这一事实。

由定理1可知面积扫描速率$dA/dt=h/2$为常数,对一个完整周期$T$积分即得总面积$A = \tfrac{h}{2}T$。对半长轴为$a$、半短轴为$b$的椭圆,几何上有$A=\pi ab$。令两者相等:$A = \pi a b = \dfrac{h}{2}T$。

接下来,通过比内方程把$h$与形状联系起来:轨道的半通径为$p=h^{2}/GM$,而椭圆满足标准关系$b=a\sqrt{1-e^{2}}$与$p=a(1-e^{2})=b^{2}/a$。结合$p=h^{2}/GM$与$p=b^{2}/a$得$h^{2}=\dfrac{GMb^{2}}{a}$,故$h = \sqrt{\dfrac{GMb^{2}}{a}} = b\sqrt{\dfrac{GM}{a}}$。

将该$h$的表达式代入$\pi ab=\tfrac{h}{2}T$并解出$T$:$T=\dfrac{2\pi ab}{h}=\dfrac{2\pi ab}{b\sqrt{GM/a}}=2\pi a\sqrt{\dfrac{a}{GM}}=2\pi\sqrt{\dfrac{a^{3}}{GM}}$。两边平方即得$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}a^{3}$,这就是开普勒第三定律——且对任意$e$的椭圆都成立,因为$e$已完全消去。$\blacksquare$

仅凭能量与角动量只能确定开普勒轨道的大小和形状,而不能确定它在平面内的取向;拉普拉斯－龙格－楞次矢量正是固定近点位置的额外守恒量,而它的存在本身就是$1/r^2$力所特有的——大多数有心力并不具备这样的矢量,这正是为什么(如下文受限三体问题中)大多数有心力轨道并不停留在一条固定的闭合曲线上。

求导:$\dfrac{d\mathbf A}{dt} = \ddot{\mathbf r}\times\mathbf h + \dot{\mathbf r}\times\dot{\mathbf h} - GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt}$。由于$\mathbf h$为常矢量(定理1),中间项为零。利用$\ddot{\mathbf r}=-\dfrac{GM}{r^{2}}\hat{\mathbf r}$与$\mathbf h=\mathbf r\times\dot{\mathbf r}$,以及矢量三重积恒等式$\hat{\mathbf r}\times(\mathbf r\times\dot{\mathbf r}) = \mathbf r(\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf r}) - \dot{\mathbf r}(\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r)$,得$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h = -\dfrac{GM}{r^{2}}\big[r\dot r\,\hat{\mathbf r} - r\dot{\mathbf r}\big] = GM\left(\dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\dot r}{r}\hat{\mathbf r}\right)$,其中$\dot r=\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf r}$是距离$r$的标量变化率(用到$\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r=r$)。

另一方面,直接对$\hat{\mathbf r}=\mathbf r/r$求导得$\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} = \dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\mathbf r\,\dot r}{r^{2}} = \dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\dot r}{r}\hat{\mathbf r}$——与上面$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h/GM$括号内的表达式完全相同。故恒等地有$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h = GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt}$。

因此$\dfrac{d\mathbf A}{dt} = GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} - GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} = \mathbf 0$,证明$\mathbf A$为常矢量。在近点处计算$\mathbf A$,此处$\dot{\mathbf r}$纯为切向(垂直于$\hat{\mathbf r}$),速率为$v_p=h/r_p$,故$\dot{\mathbf r}\times\mathbf h$沿$-\hat{\mathbf r}$方向,大小为$h^{2}/r_p$,于是$\mathbf A = \left(\dfrac{h^{2}}{r_p}-GM\right)\hat{\mathbf r}$;由轨道方程$r_p=p/(1+e)=\dfrac{h^{2}}{GM(1+e)}$,得$\mathbf A = GMe\,\hat{\mathbf r}_p$,证实$|\mathbf A|=GMe$恰好指向近点。$\blacksquare$