开普勒第三定律

由定理1可知面积扫描速率$dA/dt=h/2$为常数,对一个完整周期$T$积分即得总面积$A = \tfrac{h}{2}T$。对半长轴为$a$、半短轴为$b$的椭圆,几何上有$A=\pi ab$。令两者相等:$A = \pi a b = \dfrac{h}{2}T$。

接下来,通过比内方程把$h$与形状联系起来:轨道的半通径为$p=h^{2}/GM$,而椭圆满足标准关系$b=a\sqrt{1-e^{2}}$与$p=a(1-e^{2})=b^{2}/a$。结合$p=h^{2}/GM$与$p=b^{2}/a$得$h^{2}=\dfrac{GMb^{2}}{a}$,故$h = \sqrt{\dfrac{GMb^{2}}{a}} = b\sqrt{\dfrac{GM}{a}}$。

将该$h$的表达式代入$\pi ab=\tfrac{h}{2}T$并解出$T$:$T=\dfrac{2\pi ab}{h}=\dfrac{2\pi ab}{b\sqrt{GM/a}}=2\pi a\sqrt{\dfrac{a}{GM}}=2\pi\sqrt{\dfrac{a^{3}}{GM}}$。两边平方即得$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}a^{3}$,这就是开普勒第三定律——且对任意$e$的椭圆都成立,因为$e$已完全消去。$\blacksquare$