拉普拉斯－龙格－楞次矢量守恒

求导:$\dfrac{d\mathbf A}{dt} = \ddot{\mathbf r}\times\mathbf h + \dot{\mathbf r}\times\dot{\mathbf h} - GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt}$。由于$\mathbf h$为常矢量(定理1),中间项为零。利用$\ddot{\mathbf r}=-\dfrac{GM}{r^{2}}\hat{\mathbf r}$与$\mathbf h=\mathbf r\times\dot{\mathbf r}$,以及矢量三重积恒等式$\hat{\mathbf r}\times(\mathbf r\times\dot{\mathbf r}) = \mathbf r(\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf r}) - \dot{\mathbf r}(\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r)$,得$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h = -\dfrac{GM}{r^{2}}\big[r\dot r\,\hat{\mathbf r} - r\dot{\mathbf r}\big] = GM\left(\dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\dot r}{r}\hat{\mathbf r}\right)$,其中$\dot r=\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf r}$是距离$r$的标量变化率(用到$\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r=r$)。

另一方面,直接对$\hat{\mathbf r}=\mathbf r/r$求导得$\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} = \dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\mathbf r\,\dot r}{r^{2}} = \dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\dot r}{r}\hat{\mathbf r}$——与上面$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h/GM$括号内的表达式完全相同。故恒等地有$\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h = GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt}$。

因此$\dfrac{d\mathbf A}{dt} = GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} - GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} = \mathbf 0$,证明$\mathbf A$为常矢量。在近点处计算$\mathbf A$,此处$\dot{\mathbf r}$纯为切向(垂直于$\hat{\mathbf r}$),速率为$v_p=h/r_p$,故$\dot{\mathbf r}\times\mathbf h$沿$-\hat{\mathbf r}$方向,大小为$h^{2}/r_p$,于是$\mathbf A = \left(\dfrac{h^{2}}{r_p}-GM\right)\hat{\mathbf r}$;由轨道方程$r_p=p/(1+e)=\dfrac{h^{2}}{GM(1+e)}$,得$\mathbf A = GMe\,\hat{\mathbf r}_p$,证实$|\mathbf A|=GMe$恰好指向近点。$\blacksquare$