推导求根公式

第一步（标准化）： 因为 $a\neq0$,把 $ax^2+bx+c=0$ 每一项都除以 $a$,得到 $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$,这是一个首项系数为 $1$ 的等价方程。

第二步（配方）： 前两项 $x^2+\dfrac{b}{a}x$ 正是完全平方式 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}$ 的开头。在 $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ 中加上再减去 $\dfrac{b^2}{4a^2}$,可将其改写为 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0$。

第三步（分离平方项）： 把常数项移到右边,并通分为公分母 $4a^2$:$-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{-b^2+4ac}{4a^2}=-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=-\dfrac{\Delta}{4a^2}$。由此得到 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$。

第四步（两边开平方）： 当 $\Delta\ge0$ 时,右边是非负实数,两边都有实数平方根:$x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$（$\pm$ 已经涵盖了两种符号,无论 $a$ 本身的符号如何）。

第五步（分离x）： 两边同减 $\dfrac{b}{2a}$:$x=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$,这正是 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$。所用的每一步代数运算(除以非零的 $a$、两边同加减同一个量、对相等的非负数开平方)都是可逆的,所以只要 $\Delta\ge0$,这个公式就既是必要的也是充分的。