正则值定理（原像定理）

固定 $p \in f^{-1}(q)$。由于 $df_p: T_pM \to T_qN$ 是满射且 $\dim T_pM = m \ge n = \dim T_qN$，其核 $K = \ker df_p$ 的维数为 $m-n$。取线性补空间 $W$ 使 $T_pM = K \oplus W$ 且 $\dim W = n$；则 $df_p|_W : W \to T_qN$ 是同构。

以 $p$、$q$ 为中心取局部坐标（通过图），使 $f$ 成为光滑映射 $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$，满足 $f(0)=0$ 且 $df_0$ 满射。重排坐标 $(x,y) \in \mathbb{R}^{m-n}\times\mathbb{R}^n$，使 $0$ 处的 $\partial f/\partial y$ 为可逆的 $n\times n$ 块（因 $df_0$ 秩为 $n$ 而可行）。

定义 $\Phi(x,y) = (x, f(x,y))$。则 $d\Phi_0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ \partial f/\partial x & \partial f/\partial y \end{pmatrix}$ 满足 $\det d\Phi_0 = \det(\partial f/\partial y) \ne 0$，故由反函数定理 $\Phi$ 是局部微分同胚。在新坐标 $(x,y') = \Phi(x,y)$ 下，方程 $f=q$（即 $f=0$）恰好变为 $y'=0$。

因此在 $p$ 附近，$f^{-1}(q)$ 就是集合 $\{y'=0\}$，在这些坐标下它恰好是一个 $(m-n)$ 维坐标切片——即 $f^{-1}(q)$ 的一个光滑图。由于 $p$ 是任意的，$f^{-1}(q)$ 的每一点都有这样的图，且这些图之间的转移映射是 $M$ 的（光滑）转移映射的限制，因而是光滑的。故 $f^{-1}(q)$ 是维数为 $(m-n)$ 的光滑子流形。