光滑流形

该定理是构造流形的主要工具：不必手动给出图册，只需将一个形状描述为某映射的零点集，并在每个解点处验证一个线性代数条件（微分的满射性）即可。

固定 $p \in f^{-1}(q)$。由于 $df_p: T_pM \to T_qN$ 是满射且 $\dim T_pM = m \ge n = \dim T_qN$，其核 $K = \ker df_p$ 的维数为 $m-n$。取线性补空间 $W$ 使 $T_pM = K \oplus W$ 且 $\dim W = n$；则 $df_p|_W : W \to T_qN$ 是同构。

以 $p$、$q$ 为中心取局部坐标（通过图），使 $f$ 成为光滑映射 $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$，满足 $f(0)=0$ 且 $df_0$ 满射。重排坐标 $(x,y) \in \mathbb{R}^{m-n}\times\mathbb{R}^n$，使 $0$ 处的 $\partial f/\partial y$ 为可逆的 $n\times n$ 块（因 $df_0$ 秩为 $n$ 而可行）。

定义 $\Phi(x,y) = (x, f(x,y))$。则 $d\Phi_0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ \partial f/\partial x & \partial f/\partial y \end{pmatrix}$ 满足 $\det d\Phi_0 = \det(\partial f/\partial y) \ne 0$，故由反函数定理 $\Phi$ 是局部微分同胚。在新坐标 $(x,y') = \Phi(x,y)$ 下，方程 $f=q$（即 $f=0$）恰好变为 $y'=0$。

因此在 $p$ 附近，$f^{-1}(q)$ 就是集合 $\{y'=0\}$，在这些坐标下它恰好是一个 $(m-n)$ 维坐标切片——即 $f^{-1}(q)$ 的一个光滑图。由于 $p$ 是任意的，$f^{-1}(q)$ 的每一点都有这样的图，且这些图之间的转移映射是 $M$ 的（光滑）转移映射的限制，因而是光滑的。故 $f^{-1}(q)$ 是维数为 $(m-n)$ 的光滑子流形。

这一恒等式将微积分基本定理、格林定理、散度定理以及向量微积分中的经典斯托克斯定理统一为关于微分形式的单一命题，并且是德拉姆上同调背后的解析引擎。

第一步（局部情形，半空间）。 首先设 $M = \mathbb{H}^n = \{x_n \ge 0\}$，且 $\omega$ 在单个图内有紧支集。写 $\omega = \sum_i f_i\, dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_i}\cdots\wedge dx_n$。则 $d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$，且 $\int_{\mathbb{H}^n} d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\int \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\,dx_1\cdots dx_n$。

对 $i < n$，先对 $x_i \in \mathbb{R}$ 积分 $\partial f_i/\partial x_i$，由紧支集及普通微积分基本定理得 $0$（$x_i=\pm\infty$ 处 $f_i \to 0$）。对 $i=n$，对 $x_n \in [0,\infty)$ 积分得 $\int \frac{\partial f_n}{\partial x_n}dx_n = [f_n]_0^\infty = -f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)$（同样利用 $x_n=\infty$ 处的紧支集），故只有 $i=n$ 项留存：$\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = (-1)^{n-1}\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \left(-f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)\right)dx_1\cdots dx_{n-1}$。

在边界 $\partial\mathbb{H}^n = \{x_n=0\}$ 上（取向使外法向 $-\partial_n$ 排在最后，给出定向符号 $(-1)^n$），$\omega$ 的限制为 $\omega|_{\partial} = f_n\, dx_1\wedge\cdots\wedge dx_{n-1}$（其余项因含 $dx_n$ 或在该切片上为零而限制为 $0$）。按标准边界定向约定直接验证符号可得 $\int_{\partial \mathbb{H}^n}\omega = (-1)^n \int f_n\,dx_1\cdots dx_{n-1}$，恰与上式相符。故在此局部模型中 $\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = \int_{\partial\mathbb{H}^n}\omega$。

第二步（单位分解，整体化）。 对一般的 $M$ 和一般的 $\omega$，（利用紧致性）用有限多个图 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ 覆盖 $M$，并选取从属于此覆盖的光滑单位分解 $\{\rho_\alpha\}$，即 $\sum_\alpha \rho_\alpha = 1$ 且 $\operatorname{supp}\rho_\alpha \subset U_\alpha$。写 $\omega = \sum_\alpha \rho_\alpha\omega$；每个 $\rho_\alpha\omega$ 在单个图内有紧支集，该图要么完全在内部（此时 $\int_{\partial}\rho_\alpha\omega = 0$ 是平凡的，且由第一步应用于无边界的 $\mathbb{R}^n$ 得 $\int_M d(\rho_\alpha\omega)=0$），要么与 $\partial M$ 相交（通过 $\varphi_\alpha$ 转移后第一步可直接应用，因为它同时保持 $d$ 与定向）。

由于 $d$ 是线性的，$d\omega = \sum_\alpha d(\rho_\alpha\omega)$（利用 $\sum_\alpha d\rho_\alpha = d(\sum_\alpha \rho_\alpha) = d(1) = 0$ 来正确处理求和时的交叉项 $d\rho_\alpha \wedge \omega$）。对所有 $\alpha$ 积分并求和第一步给出的局部恒等式：$\int_M d\omega = \sum_\alpha \int_M d(\rho_\alpha\omega) = \sum_\alpha \int_{\partial M} \rho_\alpha\omega = \int_{\partial M}\omega$，这正是 $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$。