斯托克斯定理

第一步（局部情形，半空间）。 首先设 $M = \mathbb{H}^n = \{x_n \ge 0\}$，且 $\omega$ 在单个图内有紧支集。写 $\omega = \sum_i f_i\, dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_i}\cdots\wedge dx_n$。则 $d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$，且 $\int_{\mathbb{H}^n} d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\int \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\,dx_1\cdots dx_n$。

对 $i < n$，先对 $x_i \in \mathbb{R}$ 积分 $\partial f_i/\partial x_i$，由紧支集及普通微积分基本定理得 $0$（$x_i=\pm\infty$ 处 $f_i \to 0$）。对 $i=n$，对 $x_n \in [0,\infty)$ 积分得 $\int \frac{\partial f_n}{\partial x_n}dx_n = [f_n]_0^\infty = -f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)$（同样利用 $x_n=\infty$ 处的紧支集），故只有 $i=n$ 项留存：$\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = (-1)^{n-1}\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \left(-f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)\right)dx_1\cdots dx_{n-1}$。

在边界 $\partial\mathbb{H}^n = \{x_n=0\}$ 上（取向使外法向 $-\partial_n$ 排在最后，给出定向符号 $(-1)^n$），$\omega$ 的限制为 $\omega|_{\partial} = f_n\, dx_1\wedge\cdots\wedge dx_{n-1}$（其余项因含 $dx_n$ 或在该切片上为零而限制为 $0$）。按标准边界定向约定直接验证符号可得 $\int_{\partial \mathbb{H}^n}\omega = (-1)^n \int f_n\,dx_1\cdots dx_{n-1}$，恰与上式相符。故在此局部模型中 $\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = \int_{\partial\mathbb{H}^n}\omega$。

第二步（单位分解，整体化）。 对一般的 $M$ 和一般的 $\omega$，（利用紧致性）用有限多个图 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ 覆盖 $M$，并选取从属于此覆盖的光滑单位分解 $\{\rho_\alpha\}$，即 $\sum_\alpha \rho_\alpha = 1$ 且 $\operatorname{supp}\rho_\alpha \subset U_\alpha$。写 $\omega = \sum_\alpha \rho_\alpha\omega$；每个 $\rho_\alpha\omega$ 在单个图内有紧支集，该图要么完全在内部（此时 $\int_{\partial}\rho_\alpha\omega = 0$ 是平凡的，且由第一步应用于无边界的 $\mathbb{R}^n$ 得 $\int_M d(\rho_\alpha\omega)=0$），要么与 $\partial M$ 相交（通过 $\varphi_\alpha$ 转移后第一步可直接应用，因为它同时保持 $d$ 与定向）。

由于 $d$ 是线性的，$d\omega = \sum_\alpha d(\rho_\alpha\omega)$（利用 $\sum_\alpha d\rho_\alpha = d(\sum_\alpha \rho_\alpha) = d(1) = 0$ 来正确处理求和时的交叉项 $d\rho_\alpha \wedge \omega$）。对所有 $\alpha$ 积分并求和第一步给出的局部恒等式：$\int_M d\omega = \sum_\alpha \int_M d(\rho_\alpha\omega) = \sum_\alpha \int_{\partial M} \rho_\alpha\omega = \int_{\partial M}\omega$，这正是 $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$。