← 返回 李群与李代数 › 两个切向量的对易子仍是切向量 定理 已证明
两个切向量的对易子仍是切向量 命题陈述
设 G G G g \mathfrak{g} g T e G T_e G T e G X ∈ g X \in \mathfrak{g} X ∈ g Y ∈ g Y \in \mathfrak{g} Y ∈ g [ X , Y ] = X Y − Y X [X,Y] = XY - YX [ X , Y ] = X Y − Y X g \mathfrak{g} g g \mathfrak{g} g [ X , Y ] = X Y − Y X [X,Y] = XY - YX [ X , Y ] = X Y − Y X [ X , [ Y , Z ] ] + [ Y , [ Z , X ] ] + [ Z , [ X , Y ] ] = 0 [X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0 [ X , [ Y , Z ]] + [ Y , [ Z , X ]] + [ Z , [ X , Y ]] = 0 g \mathfrak{g} g
为什么成立?
群乘法是非线性的，因此我们不能简单地相加两个群元素。但括号 [ X , Y ] = X Y − Y X [X,Y] = XY - YX [ X , Y ] = X Y − Y X G G G G G G g \mathfrak{g} g
证明思路 第一步（设置）。设 X ∈ g X \in \mathfrak{g} X ∈ g Y ∈ g Y \in \mathfrak{g} Y ∈ g α ( t ) , β ( t ) ∈ G \alpha(t), \beta(t) \in G α ( t ) , β ( t ) ∈ G α ( 0 ) = β ( 0 ) = I \alpha(0)=\beta(0)=I α ( 0 ) = β ( 0 ) = I α ′ ( 0 ) = X \alpha'(0)=X α ′ ( 0 ) = X β ′ ( 0 ) = Y \beta'(0)=Y β ′ ( 0 ) = Y α ( t ) ≈ I + t X \alpha(t) \approx I + tX α ( t ) ≈ I + tX β ( t ) ≈ I + t Y \beta(t) \approx I + tY β ( t ) ≈ I + t Y
第二步（对易子曲线）。定义 γ ( t ) = e t X e t Y e − t X e − t Y \gamma(t) = e^{tX} e^{tY} e^{-tX} e^{-tY} γ ( t ) = e tX e t Y e − tX e − t Y G G G γ ( 0 ) = I \gamma(0) = I γ ( 0 ) = I G G G e s Z ≈ I + s Z + 1 2 s 2 Z 2 e^{sZ} \approx I + sZ + \tfrac12 s^2 Z^2 e s Z ≈ I + s Z + 2 1 s 2 Z 2 t t t γ ( t ) = e t X e t Y e − t X e − t Y = I + t 2 [ X , Y ] + O ( t 3 ) \gamma(t) = e^{tX} e^{tY} e^{-tX} e^{-tY} = I + t^2[X,Y] + O(t^3) γ ( t ) = e tX e t Y e − tX e − t Y = I + t 2 [ X , Y ] + O ( t 3 ) g h g − 1 h − 1 g h g^{-1} h^{-1} g h g − 1 h − 1 t t t X Y − Y X XY - YX X Y − Y X 二次 首项。
第三步（提取切向量）。令 s = t 2 s = t^2 s = t 2 s ≥ 0 s \ge 0 s ≥ 0 σ ( s ) = γ ( s ) \sigma(s) = \gamma(\sqrt{s}) σ ( s ) = γ ( s ) G G G σ ( 0 ) = I \sigma(0) = I σ ( 0 ) = I σ ′ ( 0 ) = [ X , Y ] \sigma'(0) = [X,Y] σ ′ ( 0 ) = [ X , Y ] σ \sigma σ G G G [ X , Y ] [X,Y] [ X , Y ] T e G = g T_e G = \mathfrak{g} T e G = g [ X , Y ] ∈ g [X,Y] \in \mathfrak{g} [ X , Y ] ∈ g
第四步（雅可比恒等式）。利用 [ X , Y ] = X Y − Y X [X,Y] = XY - YX [ X , Y ] = X Y − Y X [ X , [ Y , Z ] ] + [ Y , [ Z , X ] ] + [ Z , [ X , Y ] ] = 0 [X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0 [ X , [ Y , Z ]] + [ Y , [ Z , X ]] + [ Z , [ X , Y ]] = 0 X Y Z XYZ X Y Z X Y − Y X XY-YX X Y − Y X [ X , Y ] = − [ Y , X ] [X,Y]=-[Y,X] [ X , Y ] = − [ Y , X ] ( g , [ ⋅ , ⋅ ] ) (\mathfrak{g}, [\cdot,\cdot]) ( g , [ ⋅ , ⋅ ])