李群与李代数

群乘法是非线性的，因此我们不能简单地相加两个群元素。但括号 $[X,Y] = XY - YX$ 恰好度量了 $G$ 到二阶为止的不可交换程度，而令人惊讶的是这个程度本身是线性的——它存在于切空间中。这使我们能够把关于 $G$ 的困难非线性问题（它是否可交换？子群是什么？）替换为关于 $\mathfrak{g}$ 的线性代数问题（括号是否为零？理想是什么？），这正是李理论强大之处。

第一步（设置）。设 $X \in \mathfrak{g}$、$Y \in \mathfrak{g}$ 来自曲线 $\alpha(t), \beta(t) \in G$，满足 $\alpha(0)=\beta(0)=I$，$\alpha'(0)=X$，$\beta'(0)=Y$；到一阶有 $\alpha(t) \approx I + tX$ 与 $\beta(t) \approx I + tY$。

第二步（对易子曲线）。定义 $\gamma(t) = e^{tX} e^{tY} e^{-tX} e^{-tY}$，由于 $G$ 是群且 $\gamma(0) = I$，该曲线位于 $G$ 中。用 $e^{sZ} \approx I + sZ + \tfrac12 s^2 Z^2$ 将每个因子展开到 $t$ 的二阶并相乘，得到 $\gamma(t) = e^{tX} e^{tY} e^{-tX} e^{-tY} = I + t^2[X,Y] + O(t^3)$；由于这是对易子 $g h g^{-1} h^{-1}$，$t$ 的一次项恰好抵消，留下等于 $XY - YX$ 的二次首项。

第三步（提取切向量）。令 $s = t^2$ 重新参数化，对 $s \ge 0$ 定义 $\sigma(s) = \gamma(\sqrt{s})$；这是 $G$ 中的光滑曲线，满足 $\sigma(0) = I$，且由第二步得 $\sigma'(0) = [X,Y]$。由于 $\sigma$ 是经过 $G$ 单位元的曲线，按切空间的定义，其速度向量 $[X,Y]$ 属于 $T_e G = \mathfrak{g}$。因此 $[X,Y] \in \mathfrak{g}$。

第四步（雅可比恒等式）。利用 $[X,Y] = XY - YX$ 直接代数展开 $[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0$，可见形如 $XYZ$ 的每一项恰好出现两次且符号相反从而抵消，因此只要括号取为 $XY-YX$，该恒等式对任意结合的矩阵乘积自动成立，无需额外的几何输入。结合双线性性与反对称性 $[X,Y]=-[Y,X]$（由公式立即得出），这确认了 $(\mathfrak{g}, [\cdot,\cdot])$ 是一个李代数。

这一识别正是物理学中角速度是一个 $3$ 维向量的原因：刚体的"瞬时转动率"位于 $\mathfrak{so}(3)$ 中，与 $(\mathbb{R}^3,\times)$ 的同构正是 $\vec\omega \times \vec r$ 给出旋转体上点 $\vec r$ 速度的原因。

第一步（基）。每个反对称 $X \in \mathfrak{so}(3)$ 都可唯一地写成 $X_u = \begin{pmatrix} 0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0 \end{pmatrix}$ 的形式，其中 $u=(u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3$（对角线以上的三个自由条目决定其余部分），而 $u \mapsto X_u$ 显然是线性且双射的，因此是两个 $3$ 维向量空间之间的线性同构。

第二步（对向量的作用）。直接计算可得对所有 $v \in \mathbb{R}^3$ 有 $X_u v = u \times v$，即 $X_u$ 作用在 $\mathbb{R}^3$ 上恰好是"与 $u$ 作叉积"。

第三步（括号与叉积相符）。两次使用第二步，对任意 $v$：$[X_u,X_v]w = X_u(X_v w) - X_v(X_u w) = u\times(v\times w) - v\times(u\times w)$。对两项应用向量三重积恒等式 $a\times(b\times c) = b(a\cdot c) - c(a\cdot b)$ 并化简，右边对任意 $w$ 都化为 $(u\times v)\times w = X_{u\times v} w$，因此作为算子有 $[X_u,X_v] = X_{u\times v}$——恰是 $\mathfrak{so}(3) \cong (\mathbb{R}^3, \times), \qquad [X_u, X_v] = X_{u \times v}$。

第四步（结论）。由于 $u \mapsto X_u$ 是把叉积变为矩阵括号的线性双射，它给出李代数同构 $(\mathbb{R}^3,\times) \cong \mathfrak{so}(3)$，命题得证。