带括号的 $\mathfrak{so}(3)$ 同构于 $(\mathbb{R}^3, \times)$

第一步（基）。每个反对称 $X \in \mathfrak{so}(3)$ 都可唯一地写成 $X_u = \begin{pmatrix} 0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0 \end{pmatrix}$ 的形式，其中 $u=(u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3$（对角线以上的三个自由条目决定其余部分），而 $u \mapsto X_u$ 显然是线性且双射的，因此是两个 $3$ 维向量空间之间的线性同构。

第二步（对向量的作用）。直接计算可得对所有 $v \in \mathbb{R}^3$ 有 $X_u v = u \times v$，即 $X_u$ 作用在 $\mathbb{R}^3$ 上恰好是"与 $u$ 作叉积"。

第三步（括号与叉积相符）。两次使用第二步，对任意 $v$：$[X_u,X_v]w = X_u(X_v w) - X_v(X_u w) = u\times(v\times w) - v\times(u\times w)$。对两项应用向量三重积恒等式 $a\times(b\times c) = b(a\cdot c) - c(a\cdot b)$ 并化简，右边对任意 $w$ 都化为 $(u\times v)\times w = X_{u\times v} w$，因此作为算子有 $[X_u,X_v] = X_{u\times v}$——恰是 $\mathfrak{so}(3) \cong (\mathbb{R}^3, \times), \qquad [X_u, X_v] = X_{u \times v}$。

第四步（结论）。由于 $u \mapsto X_u$ 是把叉积变为矩阵括号的线性双射，它给出李代数同构 $(\mathbb{R}^3,\times) \cong \mathfrak{so}(3)$，命题得证。