西尔维斯特惯性定理

设 $Q$ 在两组基 $\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}$ 与 $\{\mathbf{f}_1,\dots,\mathbf{f}_n\}$ 下被对角化,正、负、零系数的个数在第一组基下为 $(n_+, n_-, n_0)$,在第二组基下为 $(p_+, p_-, p_0)$。对每组基排序,使正系数在前,负系数居中,零系数在后。

反设 $n_+ > p_+$。令 $V_+ = \mathrm{span}(\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_{n_+})$,这是一个 $n_+$ 维子空间,对任意非零 $\mathbf{x} \in V_+$ 都有 $Q(\mathbf{x}) > 0$(因为在 $V_+$ 上只有 $\mathbf{e}$ 展开中的正平方项起作用)。

类似地,令 $W_- = \mathrm{span}(\mathbf{f}_{p_+ + 1},\dots,\mathbf{f}_n)$,这是一个 $n - p_+$ 维子空间,对任意 $\mathbf{x} \in W_-$ 都有 $Q(\mathbf{x}) \le 0$(因为在 $W_-$ 上只有 $\mathbf{f}$ 展开中的负平方项和零项起作用)。

现在在 $\mathbb{R}^n$ 中计算维数:由于 $n_+ > p_+$,有 $\dim V_+ + \dim W_- = n_+ + (n - p_+) > n$。由子空间维数公式,维数之和大于 $n$ 的两个子空间不可能只有平凡交;因此存在非零向量 $\mathbf{v} \in V_+ \cap W_-$。

由于 $\mathbf{v} \in V_+$ 且 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$,必有 $Q(\mathbf{v}) > 0$;又因 $\mathbf{v} \in W_-$,同时必有 $Q(\mathbf{v}) \le 0$,直接矛盾。因此 $n_+ \le p_+$,由两组基的对称性又有 $p_+ \le n_+$,故 $n_+ = p_+$。对 $-Q$ 应用完全相同的论证得 $n_- = p_-$,最后 $n_0 = n - n_+ - n_- = p_0$。