达布定理

第一步(建立线性问题)。通过线性坐标变换,首先安排在所选点$p_0$处,形式$\omega$恰好在$p_0$本身处等于标准形式$\omega_0$,这是因为$\mathbb{R}^{2n}$上任何非退化的斜对称双线性形式都可以通过合适的基化为标准形式。

第二步(插值)。对$t\in[0,1]$定义族$\omega_t=(1-t)\omega_0+t\omega$。由于$\omega_0$与$\omega$在$p_0$处相同,且两者在该处都是闭的、非退化的,故$\omega_t$也是闭的,并且在必要时缩小邻域后,对每个$t$都非退化。

第三步(求解莫泽方程)。由于$\omega$减去$\omega_0$是闭的且在$p_0$处为零,由庞加莱引理可得一个1-形式$\sigma$满足$d\sigma=\omega-\omega_0$。莫泽技巧寻找一个随时间变化的向量场$X_t$求解$\iota_{X_t}\omega_t=-\sigma$;由于$\omega_t$非退化,这在每一点唯一确定$X_t$。

第四步(对流积分)。设$\varphi_t$为$X_t$生成的流。由嘉当公式直接计算可得$\mathcal{L}_{X_t}\omega_t=d\iota_{X_t}\omega_t+\iota_{X_t}d\omega_t=-d\sigma=-(\omega-\omega_0)$,结合$\dot\omega_t=\omega-\omega_0$,从而$\frac{d}{dt}(\varphi_t^*\omega_t)=0$:拉回$\varphi_t^*\omega_t$关于$t$是常数,且对每个$t$都等于$\omega_0$。

第五步(得出结论)。取$t=1$可得在缩小后的邻域上$\varphi_1^*\omega=\omega_0$,因此沿$\varphi_1$拉回的坐标即为所求的达布坐标。