辛几何

黎曼流形具有曲率这一局部不变量,即使在很小的邻域内也能区分球面与平面。达布定理表明辛流形不具有这样的局部指纹:近距离看,每个辛流形都与带有标准形式的平坦相空间$\mathbb{R}^{2n}$完全相同。因此,辛拓扑中所有有趣的内容都是整体性的。

第一步(建立线性问题)。通过线性坐标变换,首先安排在所选点$p_0$处,形式$\omega$恰好在$p_0$本身处等于标准形式$\omega_0$,这是因为$\mathbb{R}^{2n}$上任何非退化的斜对称双线性形式都可以通过合适的基化为标准形式。

第二步(插值)。对$t\in[0,1]$定义族$\omega_t=(1-t)\omega_0+t\omega$。由于$\omega_0$与$\omega$在$p_0$处相同,且两者在该处都是闭的、非退化的,故$\omega_t$也是闭的,并且在必要时缩小邻域后,对每个$t$都非退化。

第三步(求解莫泽方程)。由于$\omega$减去$\omega_0$是闭的且在$p_0$处为零,由庞加莱引理可得一个1-形式$\sigma$满足$d\sigma=\omega-\omega_0$。莫泽技巧寻找一个随时间变化的向量场$X_t$求解$\iota_{X_t}\omega_t=-\sigma$;由于$\omega_t$非退化,这在每一点唯一确定$X_t$。

第四步(对流积分)。设$\varphi_t$为$X_t$生成的流。由嘉当公式直接计算可得$\mathcal{L}_{X_t}\omega_t=d\iota_{X_t}\omega_t+\iota_{X_t}d\omega_t=-d\sigma=-(\omega-\omega_0)$,结合$\dot\omega_t=\omega-\omega_0$,从而$\frac{d}{dt}(\varphi_t^*\omega_t)=0$:拉回$\varphi_t^*\omega_t$关于$t$是常数,且对每个$t$都等于$\omega_0$。

第五步(得出结论)。取$t=1$可得在缩小后的邻域上$\varphi_1^*\omega=\omega_0$,因此沿$\varphi_1$拉回的坐标即为所求的达布坐标。

在经典力学中,刘维尔定理是遵循哈密顿方程的粒子气体无法自发压缩到相空间更小区域的数学原因:流可以将该区域拉伸、扭曲成奇怪的形状,但其体积绝不会缩小或增大。这是统计力学的基础,也解释了为何不尊重此守恒律的朴素数值积分法会在长时间模拟中产生虚假的能量漂移。

第一步(嘉当魔法公式)。对任意向量场$X$和形式$\omega$,嘉当公式给出$\mathcal{L}_X\omega=d(\iota_X\omega)+\iota_X(d\omega)$。取$X$为$X_H$:由于$\omega$是闭的,$d\omega=0$,且由哈密顿向量场的定义$\iota_{X_H}\omega=dH$,得到$\mathcal{L}_{X_H}\omega=d(dH)+0$。

第二步(形式本身不变)。外微分对任意函数都满足$d\circ d=0$,故$d(dH)=0$。因此$\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$:哈密顿流不仅保持体积,还保持辛形式本身。

第三步(转到最高幂)。体积形式为$\omega^n=\omega\wedge\cdots\wedge\omega$(共$n$个因子)。楔积上李导数的莱布尼茨法则给出$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=n\,\omega^{n-1}\wedge\mathcal{L}_{X_H}\omega$,由第二步$\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$,右边为零:$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$。

第四步(沿流积分)。若$\phi_t$是$X_H$的流,则$\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$恰好意味着对任意$t$都有$\frac{d}{dt}\phi_t^{*}(\omega^n)=0$。由$\phi_0=\mathrm{id}$可得$\phi_0^{*}(\omega^n)=\omega^n$,积分后可知对所有$t$都有$\phi_t^{*}(\omega^n)=\omega^n$,这就是刘维尔定理。