判别式符号决定根的个数

这个证明的每一步都重复使用前一个定理中建立的恒等式 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$,该恒等式对满足 $a\neq0$ 的任意实数 $a,b,c$ 都成立,与 $\Delta$ 的符号无关——只有最后开平方那一步才依赖于 $\Delta\ge0$。

**情形 $\Delta>0$。** 右边 $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ 是正数(正的分子除以正的分母 $4a^2$),因此有两个不同的平方根 $+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ 和 $-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$,由于 $\sqrt{\Delta}\neq0$ 它们互不相同。每个都给出 $x+\dfrac{b}{2a}$ 的一个不同取值,从而给出 $x$ 的一个不同取值:恰好两个不同的实数根。

**情形 $\Delta=0$。** 右边变为 $0$,而平方等于 $0$ 的实数只有 $0$ 本身——不再有“$\pm$”的歧义。于是 $x+\dfrac{b}{2a}=0$,给出唯一的根 $x=-\dfrac{b}{2a}$。这与直接把左边因式分解为 $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$(恰好在零点相切的完全平方)相吻合。

**情形 $\Delta<0$。** 右边 $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ 此时为负。但左边 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ 是一个实数的平方,而任意实数的平方总是 $\ge0$——它永远不可能等于一个负数。所以在这种情形下,没有任何实数 $x$ 能满足 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$,即原方程完全没有实数解。