两曲线间的面积作为定积分

把 $[a,b]$ 分成 $n$ 个宽为 $\Delta x=(b-a)/n$ 的小区间 $[x_{i-1},x_i]$，在每个区间内取一个样本点 $x_i^*$。区域在 $[x_{i-1},x_i]$ 上方的薄条高度约为 $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|$，故其面积约为 $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$。

对全部 $n$ 个薄条求和得到黎曼和 $\sum_{i=1}^n |f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$，按构造它逼近 $R$ 的真实面积。

当 $n\to\infty$ 时，由 $f-g$ 在紧区间 $[a,b]$ 上的一致连续性，每个薄条近似的误差趋于 $0$。由于 $|f-g|$ 连续，根据黎曼积分的定义，黎曼和收敛到 $\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$。因此 $S(R)=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$。

当 $f(x)\ge g(x)$ 在整个 $[a,b]$ 上成立时，这化简为不需要绝对值的 $S(R)=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx$；当 $f-g$ 的符号在 $(a,b)$ 内的点处改变时，在这些点处拆分积分并在每一段选取正确的相减顺序，便得到实际的计算方法。