积分的应用

用宽为 $\Delta x$ 的薄竖条来近似该区域；每个薄条近似为高 $|f(x)-g(x)|$ 的矩形，这些矩形面积之和恰好是一个黎曼和，当薄条收缩时收敛到定积分。

把 $[a,b]$ 分成 $n$ 个宽为 $\Delta x=(b-a)/n$ 的小区间 $[x_{i-1},x_i]$，在每个区间内取一个样本点 $x_i^*$。区域在 $[x_{i-1},x_i]$ 上方的薄条高度约为 $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|$，故其面积约为 $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$。

对全部 $n$ 个薄条求和得到黎曼和 $\sum_{i=1}^n |f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$，按构造它逼近 $R$ 的真实面积。

当 $n\to\infty$ 时，由 $f-g$ 在紧区间 $[a,b]$ 上的一致连续性，每个薄条近似的误差趋于 $0$。由于 $|f-g|$ 连续，根据黎曼积分的定义，黎曼和收敛到 $\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$。因此 $S(R)=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$。

当 $f(x)\ge g(x)$ 在整个 $[a,b]$ 上成立时，这化简为不需要绝对值的 $S(R)=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx$；当 $f-g$ 的符号在 $(a,b)$ 内的点处改变时，在这些点处拆分积分并在每一段选取正确的相减顺序，便得到实际的计算方法。

在位置 $x$ 处垂直于 $x$ 轴切开立体，得到半径为 $f(x)$、面积为 $\pi[f(x)]^2$ 的圆盘；把这些圆盘叠加起来，并在 $[a,b]$ 上对截面积求积分，即得总体积——这与求面积时同样的切片论证，只是用圆盘的面积代替了薄条的高度。

把 $[a,b]$ 分成 $n$ 个宽为 $\Delta x=(b-a)/n$ 的小区间，取样本点 $x_i^*$。限制在 $[x_{i-1},x_i]$ 上的立体近似为半径 $f(x_i^*)$、厚度 $\Delta x$ 的圆柱状圆盘，故其体积约为 $\pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$。

对全部 $n$ 个小区间求和这些圆盘体积，得到黎曼和 $\sum_{i=1}^n \pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$，它逼近真实体积 $V$。

当 $n\to\infty$ 时，由 $f$ 在 $[a,b]$ 上的连续性，近似误差消失，且 $x\mapsto \pi[f(x)]^2$ 本身连续，故根据定义黎曼和收敛到 $\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$。因此 $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$。

作为一致性检验，取 $[0,h]$ 上的 $f(x)=\dfrac{r}{h}x$，将其绕 $x$ 轴旋转恰好得到底面半径为 $r$、高为 $h$ 的圆锥：$V=\pi\int_0^h \left(\dfrac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi\dfrac{r^2}{h^2}\cdot\dfrac{h^3}{3} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$，恰好是经典的圆锥体积公式。