三垂线定理

在 $(\alpha)$ 外的 $d$ 上固定一点 $A$,设 $H$ 为 $A$ 到 $(\alpha)$ 的垂足,即 $AH \perp (\alpha)$;由正投影的定义知 $H$ 落在 $d_1$ 上。因为 $AH$ 与整个平面 $(\alpha)$ 垂直,所以它与该平面内的直线 $a$ 垂直:$AH \perp a$。同时,$d$、$d_1$ 与 $AH$ 位于同一个竖直平面内。

($\Rightarrow$) 设 $a \perp d$。此时 $a$ 与该竖直平面内两条相交直线 $d$ 和 $AH$ 都垂直。由直线与平面垂直的判定定理知 $a$ 与整个竖直平面垂直,从而与位于其中的 $d_1$ 垂直;故 $a \perp d_1$。

($\Leftarrow$) 反之,设 $a \perp d_1$。此时 $a$ 与同一竖直平面内两条相交直线 $d_1$ 和 $AH$ 都垂直。由同一判定定理知 $a$ 与该竖直平面垂直,从而与 $d$ 垂直;故 $a \perp d$。