空间中的平行与垂直关系

不需要检查平面内无穷多条直线。就像从同一点沿两个不同方向垂直钉入地面的两颗钉子就足以让一根柱子完全竖直一样,两次独立的垂直检验就足以确定与整个平面垂直。

以交点 $O$ 为原点,设 $\vec{u}$ 与 $\vec{v}$ 分别是 $a$ 与 $b$ 的方向向量。由于 $a$ 与 $b$ 相交且是两条不同的直线,$\vec{u}$ 与 $\vec{v}$ 线性无关,因此二者张成了平面 $(\alpha)$ 内的所有方向:任意直线 $c \subset (\alpha)$ 的方向向量都可以写成 $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$(某些实数 $\lambda, \mu$)。

设 $\vec{n}$ 为 $d$ 的一个方向向量。条件 $d \perp a$ 与 $d \perp b$ 对应内积等式 $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ 与 $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$。对平面 $(\alpha)$ 内方向为 $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ 的直线 $c$,由内积的线性性得 $\vec{n} \cdot \vec{w} = \lambda(\vec{n}\cdot\vec{u}) + \mu(\vec{n}\cdot\vec{v}) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0$。

由于 $\vec{n}$ 与任意直线 $c \subset (\alpha)$ 方向的内积都为零,所以 $d$ 与 $(\alpha)$ 内的每一条直线都垂直,这正是 $d \perp (\alpha)$ 的定义。

直接检验一条斜线的垂直关系并不方便,但它在平面内的投影 $d_1$ 平躺在平面中,在那里判断和测量垂直要容易得多。这个定理说明这两种检验结果永远一致,因此总可以把空间中困难的判定替换为平面内简单的判定。

在 $(\alpha)$ 外的 $d$ 上固定一点 $A$,设 $H$ 为 $A$ 到 $(\alpha)$ 的垂足,即 $AH \perp (\alpha)$;由正投影的定义知 $H$ 落在 $d_1$ 上。因为 $AH$ 与整个平面 $(\alpha)$ 垂直,所以它与该平面内的直线 $a$ 垂直:$AH \perp a$。同时,$d$、$d_1$ 与 $AH$ 位于同一个竖直平面内。

($\Rightarrow$) 设 $a \perp d$。此时 $a$ 与该竖直平面内两条相交直线 $d$ 和 $AH$ 都垂直。由直线与平面垂直的判定定理知 $a$ 与整个竖直平面垂直,从而与位于其中的 $d_1$ 垂直;故 $a \perp d_1$。

($\Leftarrow$) 反之,设 $a \perp d_1$。此时 $a$ 与同一竖直平面内两条相交直线 $d_1$ 和 $AH$ 都垂直。由同一判定定理知 $a$ 与该竖直平面垂直,从而与 $d$ 垂直;故 $a \perp d$。