卡尔森定理

完整的证明是二十世纪分析学中最困难的论证之一;费弗曼在1973年给出了一个著名的简化,其策略可概述为三个步骤。

第一步(用极大算子控制)。只需在 $L^2$ 上界定卡尔森极大算子 $S^*f(x) = \sup_N |S_N f(x)|$,因为对 $S^*$ 的弱型估计,再结合良性函数(对它们收敛易证)的稠密性,就能推出完整的几乎处处收敛结论。

第二步(分解为时间–频率瓦片)。用适配于时间–频率平面上二进瓦片——面积 $\sim 1$ 的矩形,正是下文『时间与频率』一节所讨论的原子——的波包来分解 $f$。每个瓦片承载着 $f$ 中在时间区间和频段上都被局域化的一部分。

第三步(把瓦片组织成树并求和)。由于截断频率 $N$ 可能随 $x$ 变化,与 $S^*f(x)$ 相关的瓦片会按时间–频率的包含关系组成『树』。费弗曼关键的组合估计给出了所有树所携带总能量的界,从而在 $L^2$ 中控制住 $S^*f$,完成证明。