调和分析

对部分和取平均恰好抵消了使 $S_N f$ 表现失常的振荡:虽然 $D_N$ 有剧烈的负值部分,但其滑动平均 $F_N$ 却是一个光滑、非负的山峰,只会以正的权重把 $f$ 的各部分加起来。因此即使 $S_N f$ 本身可能不收敛,它的滑动平均总会稳定下来——这正是微积分中用切萨罗平均驯服振荡部分和序列的同一技巧。

第一步(费耶核是正的逼近单位元)。对 $D_0,\ldots,D_N$ 取平均,并利用一个裂项型三角恒等式,得到闭式 $F_N(x) = \frac{1}{N+1}\left(\dfrac{\sin\left(\tfrac{N+1}{2}x\right)}{\sin(x/2)}\right)^2 \ge 0$。由于 $F_N = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^N D_k$ 且对每个 $k$ 有 $\frac{1}{2\pi}\int D_k = 1$,故 $\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$;由非负性可知 $\frac{1}{2\pi}\int |F_N| = 1$ 也成立,因此其 $L^1$ 范数永远不会爆炸。

第二步(质量集中于 $0$)。对任意固定的 $\delta>0$,在 $\delta \le |x| \le \pi$ 上分母 $\sin(x/2)^2$ 有正的下界,因此在该范围内一致地有 $F_N(x) = O(1/N)$;$[-\delta,\delta]$ 之外的质量当 $N\to\infty$ 时趋于 $0$。

第三步(逼近单位元估计)。利用 $\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$,写出 $\sigma_N f(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_N(y)\big(f(x-y)-f(x)\big)\,dy$。把积分分成 $|y|<\delta$ 与 $\delta\le|y|\le\pi$ 两部分。在前一部分,由 $f$ 的一致连续性,当 $\delta$ 足够小时 $|f(x-y)-f(x)|<\varepsilon$,又 $F_N\ge0$ 且总质量为 $1$,故该部分不超过 $\varepsilon$。在后一部分,$F_N=O(1/N)$ 且 $f$ 有界,故该部分当 $N\to\infty$ 时 $\to 0$。两个界都关于 $x$ 一致,因此 $\sigma_N f\to f$ 一致成立。

鉴于柯尔莫哥洛夫在1926年给出的那个处处发散的 $L^1$ 函数例子,人们完全有理由认为 $L^2$——仅仅是稍强一点的条件——也会以同样的方式失败,至少几乎处处失败。卡尔森定理带来了真正的惊喜:平方可积这一微小的附加假设,竟能把发散排除到只剩一个测度为零的集合之外。它解决了自1913年鲁津提出猜想以来一直悬而未决的问题,被视为二十世纪分析学中最深刻的定理之一。

完整的证明是二十世纪分析学中最困难的论证之一;费弗曼在1973年给出了一个著名的简化,其策略可概述为三个步骤。

第一步(用极大算子控制)。只需在 $L^2$ 上界定卡尔森极大算子 $S^*f(x) = \sup_N |S_N f(x)|$,因为对 $S^*$ 的弱型估计,再结合良性函数(对它们收敛易证)的稠密性,就能推出完整的几乎处处收敛结论。

第二步(分解为时间–频率瓦片)。用适配于时间–频率平面上二进瓦片——面积 $\sim 1$ 的矩形,正是下文『时间与频率』一节所讨论的原子——的波包来分解 $f$。每个瓦片承载着 $f$ 中在时间区间和频段上都被局域化的一部分。

第三步(把瓦片组织成树并求和)。由于截断频率 $N$ 可能随 $x$ 变化,与 $S^*f(x)$ 相关的瓦片会按时间–频率的包含关系组成『树』。费弗曼关键的组合估计给出了所有树所携带总能量的界,从而在 $L^2$ 中控制住 $S^*f$,完成证明。

从物理上看, $\int |f|^2$ 就是信号的能量(可以想成电压波形所耗散的功率)。普朗歇尔定理说,无论是在时域扫描信号,还是在频域扫描它的频谱,算出的这个能量都一样——频谱分析仪和示波器测得的总功率必须一致。

第一步(特殊情形)。先对高斯函数 $f(x) = e^{-\pi x^2}$ 验证该等式。对指数配方直接计算可得 $\hat f(\xi) = e^{-\pi \xi^2}$,于是 $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ 两边都等于同一个高斯积分 $\int e^{-2\pi x^2}\,dx$。

第二步(用线性性与卷积定理推广)。对性质良好的(施瓦茨)函数 $f$,令 $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ 并取 $g = f * \tilde f$;则 $g(0) = \int |f(x)|^2\,dx$,再结合卷积定理 $\widehat{f * g} = \hat f \cdot \hat g$ 与傅里叶反演公式,可得 $g(0) = \int \hat g(\xi)\,d\xi = \int |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$。这就对包括高斯函数在内的一切光滑速降的施瓦茨函数证明了该等式。

第三步(稠密性论证)。施瓦茨函数在 $L^2(\mathbb{R})$ 中稠密:任意 $f \in L^2$ 都是施瓦茨函数列 $f_n \to f$ 在 $L^2$ 范数下的极限。由第二步,傅里叶变换在这个稠密子空间上是等距映射,因而唯一地延拓为整个 $L^2(\mathbb{R})$ 上仍满足 $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ 的有界算子——当定义积分 $\hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-2\pi i x \xi}\,dx$ 未必绝对收敛时,『$L^2$ 函数的傅里叶变换』正是指这个延拓。

它是在整数点对信号采样与对其频谱做周期化之间的桥梁:左边是把采样值 $f(n)$ 相加得到的结果,右边是从频谱得到的结果。这一个恒等式正是采样定理、晶体学中格点求和,以及theta函数与黎曼zeta函数的函数方程的基础。

第一步(周期化)。对施瓦茨函数 $f$,令 $F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(x+n)$。由 $f$ 的快速衰减性,该级数绝对且一致收敛, $F$ 是周期为1的光滑函数,因而在圆周上有自己的傅里叶级数。

第二步(计算周期化函数的傅里叶系数)。 $F$ 的第 $k$ 个傅里叶系数为 $c_k = \int_0^1 F(x) e^{-2\pi i k x}\,dx = \sum_{n} \int_0^1 f(x+n) e^{-2\pi i k x}\,dx$。对每一项作代换 $y = x+n$,并利用 $e^{-2\pi i k x}$ 关于 $n$ 的周期性,把各段重新拼成整个 $\mathbb{R}$ 上的单一积分: $c_k = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-2\pi i k y}\,dy = \hat f(k)$。

第三步(在 x=0 处求值)。由于 $F$ 光滑,它的傅里叶级数逐点收敛到自身,特别是在 $x=0$ 处: $F(0) = \sum_k c_k e^{0}$,即 $\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat f(k)$。左边按定义恰好是 $F(0) = \sum_n f(n)$,证明完成。

$L^2$ 情形基本上是免费得到的:乘子 $-i\,\mathrm{sgn}(\xi)$ 几乎处处的模恰好为 $1$,因此由普朗歇尔定理,$H$ 在 $L^2$ 上确实就是一个等距映射——对每个频率做 $90^\circ$ 相位旋转不会改变总能量。但把有界性推广到其他 $p$ 却是一个本质上不同、也困难得多的问题:在 $L^2$ 之外没有帕塞瓦尔恒等式的类似物可用,因此没有代数捷径,证明必须依赖关于 $Hf$ 变大的集合的大小与几何的实变量估计。

第一步($L^2$,直接证明)。由普朗歇尔定理与乘子公式,并利用当 $\xi\ne0$ 时 $|\mathrm{sgn}(\xi)|=1$(单点不影响积分),可得 $\|Hf\|_{L^2}^2 = \int |\widehat{Hf}(\xi)|^2\,d\xi = \int |\mathrm{sgn}(\xi)|^2|\hat f(\xi)|^2\,d\xi = \|f\|_{L^2}^2$。因此 $H$ 在 $L^2(\mathbb{R})$ 上是等距映射,特别地以 $C_2=1$ 有界。

第二步(一般的 $1<p<\infty$,前向引用)。指数的完整范围无法通过任何软论证从第一步得到。这是实变量卡尔德龙–齐格蒙德理论中一个真正的定理:希尔伯特变换的核 $1/(\pi x)$ 恰好满足卡尔德龙–齐格蒙德核所要求的光滑性与相消条件,因此下一节中给出的一般奇异积分理论机制可以直接应用于它。该机制从第一步证明的 $L^2$ 估计出发,得到一个弱型 $(1,1)$ 估计,再通过弱-$(1,1)$ 估计与 $L^2$ 估计之间的马钦凯维奇插值(以及对 $p>2$ 的对偶论证)完成对一切 $1<p<\infty$ 的证明——这部分论证在下面的卡尔德龙–齐格蒙德一节中完整给出,此处不再重复。

$Mf(x)$ 一举控制住了在 $x$ 周围区间上可能取到的 $f$ 的每一种平均——即每个可能尺度上的滑动平均。控制住这一个量,恰好正是证明勒贝格微分定理(以 $x$ 为中心、不断缩小的区间上 $f$ 的平均值,对几乎所有 $x$ 都收敛到 $f(x)$)所需要的:一旦知道 $Mf$ 几乎处处有限,一个简短的软论证就能把它提升为完整的微分结论。这正是下面卡尔德龙–齐格蒙德理论背后的实变量引擎,扮演着普朗歇尔恒等式在简单的 $L^2$ 估计中所扮演的角色。

第一步(用好球覆盖)。固定 $\lambda>0$。对每个满足 $Mf(x)>\lambda$ 的 $x$,由上确界的定义,存在以 $x$ 为中心的区间 $B_x$ 使得 $\frac{1}{|B_x|}\int_{B_x}|f| > \lambda$。这些球 $\{B_x\}$ 覆盖了集合 $\{Mf>\lambda\}$。

第二步(维塔利 $5r$ 覆盖引理)。从任意半径有界的球族中,总能抽取出一个可数的两两不相交子族 $\{B_i\}$,使得放大 $5$ 倍后的球 $\{5B_i\}$ 仍能覆盖原族整体的并集。把它应用到 $\{B_x\}$ 上,得到一个两两不相交的子族 $\{B_i\}$,满足 $\{Mf>\lambda\}\subseteq\bigcup_i 5B_i$。

第三步(对不相交的部分求和)。由构造,每个 $B_i$ 都满足 $\lambda|B_i| < \int_{B_i}|f|$。由于各 $B_i$ 两两不相交,对 $i$ 求和得到 $\lambda\sum_i|B_i| < \sum_i\int_{B_i}|f| \le \int_{\mathbb{R}}|f| = \|f\|_1$,于是 $\sum_i|B_i| < \|f\|_1/\lambda$。最后 $|\{Mf>\lambda\}| \le \sum_i|5B_i| = 5\sum_i|B_i| < \dfrac{5}{\lambda}\|f\|_1$,这正是 $|\{x : Mf(x) > \lambda\}| \le \frac{5}{\lambda}\|f\|_1$。