伽罗瓦理论基本定理

第一步(阿廷引理给出 $L^{\mathrm{Gal}(L/F)}=F$)。设 $F$ 为中间域,$H=\mathrm{Gal}(L/F)$。由定义每个 $\sigma\in H$ 固定 $F$,故显然 $F\subseteq L^H$。反向包含用阿廷定理:若 $H$ 是 $L$ 的有限自同构群,则 $[L:L^H]=|H|$;这源自戴德金引理——不同的域自同构作为函数 $L\to L$ 是线性无关的,由此推出 $[L:L^H]\ge|H|$。因 $L/F$ 是伽罗瓦扩张,$[L:F]=|\mathrm{Gal}(L/F)|=|H|$,结合 $F\subseteq L^H$、$[L:L^H]=|H|=[L:F]$ 得 $F=L^H$。

第二步(两个映射互为逆映射)。任取子群 $H\le G$,令 $F=L^H$;需证 $\mathrm{Gal}(L/F)=H$。由定义 $H\subseteq\mathrm{Gal}(L/F)$($H$ 中元素都固定 $L^H=F$)。对 $H$ 用阿廷定理:$[L:F]=[L:L^H]=|H|$。再对 $\mathrm{Gal}(L/F)$ 用一次(因 $L/F$ 自动是伽罗瓦扩张,恒成立):$|\mathrm{Gal}(L/F)|=[L:F]=|H|$。因 $H\subseteq\mathrm{Gal}(L/F)$ 且两者有限阶都等于 $|H|$,得 $H=\mathrm{Gal}(L/F)$。

第三步(反转包含关系)。直接由不动域的定义,$H_1\subseteq H_2\Rightarrow L^{H_1}\supseteq L^{H_2}$,故该双射双向反转包含关系。

第四步(次数公式)。已得 $[L:F]=|\mathrm{Gal}(L/F)|=|H|$。由塔公式 $[L:K]=[L:F][F:K]$ 及 $[L:K]=|G|$,得 $[F:K]=|G|/|H|=[G:H]$。

第五步(正规子群对应伽罗瓦子扩张)。对 $\sigma\in G$,直接验证得 $\sigma(L^H)=L^{\sigma H\sigma^{-1}}$:事实上 $x\in L^H\iff\forall h\in H,\ hx=x\iff\forall h\in H,\ (\sigma h\sigma^{-1})(\sigma x)=\sigma x\iff \sigma x\in L^{\sigma H\sigma^{-1}}$。因此 $F=L^H$ 在每个 $\sigma\in G$ 下保持不变(这正是使 $F/K$ 为伽罗瓦扩张的正规性条件,因为 $F$ 由 $K$ 上多项式的根生成,而 $G$ 在其上传递作用),当且仅当对所有 $\sigma$ 有 $\sigma H\sigma^{-1}=H$,即 $H\trianglelefteq G$。此时限制映射 $\sigma\mapsto\sigma|_F$ 给出核恰为 $H$ 的满同态 $G\to\mathrm{Gal}(F/K)$,由第一同构定理得 $\mathrm{Gal}(F/K)\cong G/H$。