代数学

伽罗瓦理论

将域扩张与对称群联系起来,解释为何某些方程没有求根公式。

直观从解方程到根的对称性

每个学生都知道二次方程求根公式: $x^2+px+q=0$ 的根是 $x=\dfrac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ 。当我们把 $\pm$ 的符号互换时,两个根就互换了位置——这个互换本身就是一种对称。伽罗瓦的核心思想是给每个多项式方程配上一个由根的置换构成的群,这些置换保持根之间的一切代数关系,而这个群的结构恰好决定了该方程用根式求解有多"难"。

旋转角度

\theta=90°

对应于乘以

i

——这正是

\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})

的生成元

\sigma

作用在

x^4-2=0

的根

\alpha=\sqrt[4]{2}

上的方式,将四个根轮换。

中学从高中代数的桥梁:韦达与卡尔达诺

韦达定理指出 $x^2+px+q=0$ 的根 $x_1,x_2$ 满足 $x_1+x_2=-p$ 、 $x_1x_2=q$ ——这些是关于根的对称表达式,在 $x_1\leftrightarrow x_2$ 时不变。卡尔达诺为三次方程找到了类似的根式公式;费拉里为四次方程做到了同样的事。但求五次方程公式的一切尝试都失败了。阿贝尔(1824年)证明了次数为 $5$ 时不存在通用根式公式;伽罗瓦(1832年)用群的语言精确解释了原因。

大学域扩张与伽罗瓦群

定义: 域扩张、伽罗瓦扩张

给定域 $K\subseteq L$ ,称 $L/K$ 为域扩张。若 $L$ 是 $K$ 上有限维向量空间则称为有限扩张,其次数 $[L:K]$ 即该维数。称 $L/K$ 是伽罗瓦扩张,若它既是正规的( $K$ 上任意不可约多项式只要在 $L$ 中有一根就在 $L$ 中有全部根)又是可分的(任意不可约因子没有重根)——当 $K$ 特征为 $0$ (例如 $K=\mathbb{Q}$ )时自动成立。

\mathrm{Gal}(L/K)=\{\sigma:L\xrightarrow{\sim}L \mid \sigma(a)=a\ \forall a\in K\}

$\mathrm{Gal}(L/K)$ 是固定 $K$ 中每个元素的 $L$ 的全体域自同构组成的集合,以复合运算作为群运算。当 $L/K$ 是有限伽罗瓦扩张时,这是一个有限群,其阶数恰好由扩张的次数控制。

|\mathrm{Gal}(L/K)|=[L:K]

域扩张的次数恰好等于伽罗瓦群的阶——这是线性代数(向量空间的维数)与群论(根的置换群的阶)之间的直接桥梁。

一般n次方程的根式可解性
次数n	一般伽罗瓦群	能否用根式求解
2	$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$	是(二次求根公式)
3	$S_3$	是(卡尔达诺)
4	$S_4$	是(费拉里)
5	$S_5$	否(阿贝尔–鲁菲尼: $S_5$ 不可解)

定理: 伽罗瓦理论基本定理

设 $L/K$ 是有限伽罗瓦扩张, $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ 。映射 $H\mapsto L^H$ (被 $H$ 固定的域)是子群 $H\le G$ 与中间域 $K\subseteq F\subseteq L$ 之间保持包含关系反转的双射,其逆映射为 $F\mapsto\mathrm{Gal}(L/F)$ 。此外 $[L:F]=|\mathrm{Gal}(L/F)|$ , $[F:K]=[G:\mathrm{Gal}(L/F)]$ ,且 $F/K$ 是伽罗瓦扩张当且仅当 $\mathrm{Gal}(L/F)\trianglelefteq G$ ,此时 $\mathrm{Gal}(F/K)\cong G/\mathrm{Gal}(L/F)$ 。

为什么成立?

该定理把关于域(无限、难以枚举的代数对象)的问题转化为关于有限群子群格的问题——一切关于中间域的问题(有多少个、谁包含谁、哪些在 $K$ 上是伽罗瓦扩张)只需查看 $G$ 的子群即可回答。

证明

第一步(阿廷引理给出 $L^{\mathrm{Gal}(L/F)}=F$ )。设 $F$ 为中间域, $H=\mathrm{Gal}(L/F)$ 。由定义每个 $\sigma\in H$ 固定 $F$ ,故显然 $F\subseteq L^H$ 。反向包含用阿廷定理:若 $H$ 是 $L$ 的有限自同构群,则 $[L:L^H]=|H|$ ;这源自戴德金引理——不同的域自同构作为函数 $L\to L$ 是线性无关的,由此推出 $[L:L^H]\ge|H|$ 。因 $L/F$ 是伽罗瓦扩张, $[L:F]=|\mathrm{Gal}(L/F)|=|H|$ ,结合 $F\subseteq L^H$ 、 $[L:L^H]=|H|=[L:F]$ 得 $F=L^H$ 。

第二步(两个映射互为逆映射)。任取子群 $H\le G$ ,令 $F=L^H$ ;需证 $\mathrm{Gal}(L/F)=H$ 。由定义 $H\subseteq\mathrm{Gal}(L/F)$ ( $H$ 中元素都固定 $L^H=F$ )。对 $H$ 用阿廷定理: $[L:F]=[L:L^H]=|H|$ 。再对 $\mathrm{Gal}(L/F)$ 用一次(因 $L/F$ 自动是伽罗瓦扩张,恒成立): $|\mathrm{Gal}(L/F)|=[L:F]=|H|$ 。因 $H\subseteq\mathrm{Gal}(L/F)$ 且两者有限阶都等于 $|H|$ ,得 $H=\mathrm{Gal}(L/F)$ 。

第三步(反转包含关系)。直接由不动域的定义, $H_1\subseteq H_2\Rightarrow L^{H_1}\supseteq L^{H_2}$ ,故该双射双向反转包含关系。

第四步(次数公式)。已得 $[L:F]=|\mathrm{Gal}(L/F)|=|H|$ 。由塔公式 $[L:K]=[L:F][F:K]$ 及 $[L:K]=|G|$ ,得 $[F:K]=|G|/|H|=[G:H]$ 。

第五步(正规子群对应伽罗瓦子扩张)。对 $\sigma\in G$ ,直接验证得 $\sigma(L^H)=L^{\sigma H\sigma^{-1}}$ :事实上 $x\in L^H\iff\forall h\in H,\ hx=x\iff\forall h\in H,\ (\sigma h\sigma^{-1})(\sigma x)=\sigma x\iff \sigma x\in L^{\sigma H\sigma^{-1}}$ 。因此 $F=L^H$ 在每个 $\sigma\in G$ 下保持不变(这正是使 $F/K$ 为伽罗瓦扩张的正规性条件,因为 $F$ 由 $K$ 上多项式的根生成,而 $G$ 在其上传递作用),当且仅当对所有 $\sigma$ 有 $\sigma H\sigma^{-1}=H$ ,即 $H\trianglelefteq G$ 。此时限制映射 $\sigma\mapsto\sigma|_F$ 给出核恰为 $H$ 的满同态 $G\to\mathrm{Gal}(F/K)$ ,由第一同构定理得 $\mathrm{Gal}(F/K)\cong G/H$ 。

实例: $x^4-2$ 的伽罗瓦群

考虑 $x^4-2=0$ ,由艾森斯坦判别法(取 $p=2$ )知其在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。它的四个复根是 $\alpha=\sqrt[4]{2},\ i\alpha,\ -\alpha,\ -i\alpha$ ,其中 $\alpha=\sqrt[4]{2}>0$ 是正实四次根。分裂域为 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},\,i)$ :既需要 $\alpha$ (得到一个根),也需要 $i$ (由此生成其余三个根)。

由 $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=4$ ( $4$ 次不可约)及 $[\mathbb{Q}(\alpha,i):\mathbb{Q}(\alpha)]=2$ (因 $i\notin\mathbb{Q}(\alpha)\subset\mathbb{R}$ ),得 $|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]=8$ 。此群由 $\sigma,\tau$ 生成,满足 $\sigma(\alpha)=i\alpha,\ \sigma(i)=i,\qquad \tau(\alpha)=\alpha,\ \tau(i)=-i$ ( $\sigma$ 轮换四个根, $\tau$ 为复共轭),且 $\sigma^4=\tau^2=\mathrm{id}$ , $\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma^{-1}$ ——这正是以四个根为顶点的正方形的二面体群,故 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong D_4$ 。

$D_4$ 恰有 $10$ 个子群。由基本定理,每个子群对应唯一一个中间域:例如 $\langle\tau\rangle$ (阶 $2$ )固定 $L^{\langle\tau\rangle}=\mathbb{Q}(\alpha)$ (在 $\mathbb{Q}$ 上次数 $4=[G:\langle\tau\rangle]$ ),而 $\langle\sigma\rangle$ (阶 $4$ ,因指数为 $2$ 故正规)固定 $L^{\langle\sigma\rangle}=\mathbb{Q}(i)$ (次数 $2$ ,且 $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ 确实是伽罗瓦扩张,因 $\langle\sigma\rangle\trianglelefteq D_4$ ,这与 $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ 是熟知的正规二次扩张相符)。

定理: 伽罗瓦群在根上的传递作用

若 $f\in K[x]$ 在 $K$ (特征 $0$ )上不可约, $L$ 是其在 $K$ 上的分裂域,则 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 通过置换作用于 $L$ 中 $f$ 的根集 $R$ 上,该作用是传递的:对任意 $r_1,r_2\in R$ ,存在 $\sigma\in\mathrm{Gal}(L/K)$ 使得 $\sigma(r_1)=r_2$ 。

为什么成立?

这正是我们能说"多项式的伽罗瓦群"而不只是"域扩张的伽罗瓦群"的原因:它解释了为什么不可约多项式的每个根在代数上都与其他根无法区分——总存在 $L$ 的一个对称将一个根送到另一个根。

证明

第一步:因 $f$ 在 $K$ 上不可约,且 $r_1,r_2\in R\subset L$ 都是其根,故存在 $K$ -同构 $\varphi:K(r_1)\to K(r_2)$ 满足 $\varphi(r_1)=r_2$ , $\varphi|_K=\mathrm{id}_K$ ——这是极小多项式的基本性质:通过将 $r_1\mapsto x\mapsto r_2$ 的同构,有 $K(r_1)\cong K[x]/(f)\cong K(r_2)$ 。

第二步: $L$ 既是 $f$ 在 $K(r_1)$ 上的分裂域,也是在 $K(r_2)$ 上的分裂域(因 $L$ 是 $K$ 上的分裂域,且 $K\subseteq K(r_i)\subseteq L$ )。由分裂域的同构扩张定理, $\varphi$ 可扩张为域同构 $\sigma:L\to L$ 。

第三步:因 $\sigma|_K=\varphi|_K=\mathrm{id}_K$ ,故 $\sigma\in\mathrm{Gal}(L/K)$ ,且 $\sigma(r_1)=\varphi(r_1)=r_2$ 。因此对任意两根 $r_1,r_2$ 总存在将一个送到另一个的 $\sigma$ ——这正是传递作用的定义。

大学实际应用与典型例题

尽管诞生于回答一个纯理论问题("一般五次方程是否有根式公式"),伽罗瓦理论已成为现代密码学、纠错码以及判定尺规作图可行性的基础工具。

例题: AES加密中的有限域

AES加密将每个字节视为有限域 $\mathbb{F}_{2^8}=\mathbb{F}_2[x]/(x^8+x^4+x^3+x+1)$ —— $\mathbb{F}_2$ 的 $8$ 次伽罗瓦扩张——中的元素。请解释为何SubBytes步骤中使用的乘法逆元对每个非零字节总是存在且唯一,以及若模多项式换成 $\mathbb{F}_2$ 上可约的 $x^8+1=(x+1)^8$ 会为何失败。

解答

第一步: $\mathbb{F}_2[x]/(m(x))$ 是域(而非仅仅是环),当且仅当 $m(x)$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上不可约——这正是 $L/\mathbb{F}_2$ 成为有限域扩张的条件(自动是伽罗瓦扩张:因弗罗贝尼乌斯映射 $x\mapsto x^2$ 是自同构而可分,因 $\mathbb{F}_{2^n}$ 总是 $x^{2^n}-x$ 的分裂域而正规)。

第二步:AES选取 $m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$ ,它在 $\mathbb{F}_2$ 上不可约(在 $\mathbb{F}_2$ 中无根,也不能在 $\mathbb{F}_2$ 上分解为 $4\times4$ 或 $2\times6$ 次的乘积),故商环是有 $2^8=256$ 个元素的域——每个非零元素都可逆,逆元通过 $\mathbb{F}_2[x]$ 上的扩展欧几里得算法高效计算。

第三步:若将 $m(x)$ 换成 $\mathbb{F}_2$ (特征 $2$ )上可约的 $x^8+1=(x+1)^8$ ,商环 $\mathbb{F}_2[x]/(x^8+1)$ 就不再是域:非零元素 $x+1$ 满足 $(x+1)^8\equiv 0$ ,是幂零的零因子,没有乘法逆元。SubBytes对这些字节将无法定义,导致整个加密方案崩溃——这正是密码标准在发布前必须(例如借助基于伽罗瓦理论的Berlekamp算法)验证模多项式不可约性的原因。

例题: 为何正七边形不能用尺规作图

古希腊人能用尺规作图正五边形,但尽管尝试了两千年,始终无人能作图正七边形( $n=7$ )。请用伽罗瓦理论精确解释原因。

解答

第一步:正 $n$ 边形的顶点对应于 $n$ 次单位根,作图它等价于仅用尺规步骤从 $\mathbb{Q}$ 出发作图 $\zeta_n=e^{2\pi i/n}$ 。高斯与万采尔证明: $\zeta_n$ 可尺规作图当且仅当 $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}]$ 是 $2$ 的幂,因为每个基本作图步骤(直线/圆的交点)只添加次数为 $1$ 或 $2$ 的扩张,故任何可作图的点都位于 $\mathbb{Q}$ 上次数为 $2$ 的幂的塔顶;反过来,次数为 $2^k$ 的伽罗瓦群是 $2$ -群,故可解,拥有指数为 $2$ 的子群链,由基本定理对应于由次数 $2$ 的域步骤构成的塔,每一步都可由尺规实现。

第二步: $\zeta_7$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式是 $7$ 次分圆多项式 $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$ (次数 $6$ ,因 $7$ 为素数,全部 $6$ 个本原根共享此极小多项式),故 $[\mathbb{Q}(\zeta_7):\mathbb{Q}]=6$ 。

第三步: $6=2\times3$ 不是 $2$ 的幂(含奇因子 $3$ ),故由高斯–万采尔判据,正七边形"不能"用尺规作图——无论多么巧妙都找不到作图方法,这正是两千年尝试均告失败的原因。(对比:正五边形有 $[\mathbb{Q}(\zeta_5):\mathbb{Q}]=4=2^2$ ,是 $2$ 的幂,故可作图,与欧几里得《几何原本》中的作图法相符。)

对于有限伽罗瓦扩张 $L/K$ , $|\mathrm{Gal}(L/K)|$ 等于多少?

$x^4-2=0$ 的分裂域 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ 的 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ 是什么?

为何正七边形不能用尺规作图?

为何AES有限域 $\mathbb{F}_{2^8}$ 的模多项式必须在 $\mathbb{F}_2$ 上不可约?

参考文献

Ian Stewart (2015). Galois Theory (4th ed.) · DOI:10.1201/b18187
David S. Dummit, Richard M. Foote (2004). Abstract Algebra (3rd ed.)