哈代–李特尔伍德极大定理

第一步(用好球覆盖)。固定 $\lambda>0$。对每个满足 $Mf(x)>\lambda$ 的 $x$,由上确界的定义,存在以 $x$ 为中心的区间 $B_x$ 使得 $\frac{1}{|B_x|}\int_{B_x}|f| > \lambda$。这些球 $\{B_x\}$ 覆盖了集合 $\{Mf>\lambda\}$。

第二步(维塔利 $5r$ 覆盖引理)。从任意半径有界的球族中,总能抽取出一个可数的两两不相交子族 $\{B_i\}$,使得放大 $5$ 倍后的球 $\{5B_i\}$ 仍能覆盖原族整体的并集。把它应用到 $\{B_x\}$ 上,得到一个两两不相交的子族 $\{B_i\}$,满足 $\{Mf>\lambda\}\subseteq\bigcup_i 5B_i$。

第三步(对不相交的部分求和)。由构造,每个 $B_i$ 都满足 $\lambda|B_i| < \int_{B_i}|f|$。由于各 $B_i$ 两两不相交,对 $i$ 求和得到 $\lambda\sum_i|B_i| < \sum_i\int_{B_i}|f| \le \int_{\mathbb{R}}|f| = \|f\|_1$,于是 $\sum_i|B_i| < \|f\|_1/\lambda$。最后 $|\{Mf>\lambda\}| \le \sum_i|5B_i| = 5\sum_i|B_i| < \dfrac{5}{\lambda}\|f\|_1$,这正是 $|\{x : Mf(x) > \lambda\}| \le \frac{5}{\lambda}\|f\|_1$。