德萨格定理

把两个三角形看作位于 $\mathbb{R}^3$ 中平面 $\pi$ 内,并在 $\pi$ 上方构造一个空间构形:一个不在 $\pi$ 内的点 $\widehat{O}$ ,以及位于空间中两个不同平面内的三角形 $\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C}$ 与 $\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'}$ ,使得直线 $\widehat{A}\widehat{A'}$ 、$\widehat{B}\widehat{B'}$ 、$\widehat{C}\widehat{C'}$ 都经过 $\widehat{O}$ ,并且把这个空间图形投影回 $\pi$ 后能还原出关于 $O$ 透视的原始三角形 $ABC$ 与 $A'B'C'$ 。

在这个空间图形中,直线 $\widehat{B}\widehat{C}$ 与直线 $\widehat{B'}\widehat{C'}$ 都位于由 $\widehat{O}, \widehat{B}, \widehat{C}$ 张成的平面内(因为 $\widehat{B'}$ 与 $\widehat{C'}$ 分别位于经过 $\widehat{O}$ 与 $\widehat{B}, \widehat{C}$ 的直线上),所以这两条直线相交于一点 $\widehat{P}$ ;类似地,$\widehat{Q}$ 与 $\widehat{R}$ 也作为边 $CA$ 与 $AB$ 对应的交点存在于空间中。

三点 $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ 都位于包含三角形 $\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C}$ 的平面内(因为每个点都由其一对边构造而成),同时也位于包含 $\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'}$ 的平面内。因此 $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ 位于这两个平面的交线上,因为空间中任意两个不同的平面恰好交于一条直线。

把这个空间构形投影回平面 $\pi$ ,会把 $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ 变为 $P, Q, R$ 并保持共线性,因为从一点出发的投影把任意直线映为直线。因此 $P, Q, R$ 在 $\pi$ 中共线,这正是德萨格定理。