费耶定理

第一步(费耶核是正的逼近单位元)。对 $D_0,\ldots,D_N$ 取平均,并利用一个裂项型三角恒等式,得到闭式 $F_N(x) = \frac{1}{N+1}\left(\dfrac{\sin\left(\tfrac{N+1}{2}x\right)}{\sin(x/2)}\right)^2 \ge 0$。由于 $F_N = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^N D_k$ 且对每个 $k$ 有 $\frac{1}{2\pi}\int D_k = 1$,故 $\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$;由非负性可知 $\frac{1}{2\pi}\int |F_N| = 1$ 也成立,因此其 $L^1$ 范数永远不会爆炸。

第二步(质量集中于 $0$)。对任意固定的 $\delta>0$,在 $\delta \le |x| \le \pi$ 上分母 $\sin(x/2)^2$ 有正的下界,因此在该范围内一致地有 $F_N(x) = O(1/N)$;$[-\delta,\delta]$ 之外的质量当 $N\to\infty$ 时趋于 $0$。

第三步(逼近单位元估计)。利用 $\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$,写出 $\sigma_N f(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_N(y)\big(f(x-y)-f(x)\big)\,dy$。把积分分成 $|y|<\delta$ 与 $\delta\le|y|\le\pi$ 两部分。在前一部分,由 $f$ 的一致连续性,当 $\delta$ 足够小时 $|f(x-y)-f(x)|<\varepsilon$,又 $F_N\ge0$ 且总质量为 $1$,故该部分不超过 $\varepsilon$。在后一部分,$F_N=O(1/N)$ 且 $f$ 有界,故该部分当 $N\to\infty$ 时 $\to 0$。两个界都关于 $x$ 一致,因此 $\sigma_N f\to f$ 一致成立。