M. 里斯定理

第一步($L^2$,直接证明)。由普朗歇尔定理与乘子公式,并利用当 $\xi\ne0$ 时 $|\mathrm{sgn}(\xi)|=1$(单点不影响积分),可得 $\|Hf\|_{L^2}^2 = \int |\widehat{Hf}(\xi)|^2\,d\xi = \int |\mathrm{sgn}(\xi)|^2|\hat f(\xi)|^2\,d\xi = \|f\|_{L^2}^2$。因此 $H$ 在 $L^2(\mathbb{R})$ 上是等距映射,特别地以 $C_2=1$ 有界。

第二步(一般的 $1<p<\infty$,前向引用)。指数的完整范围无法通过任何软论证从第一步得到。这是实变量卡尔德龙–齐格蒙德理论中一个真正的定理:希尔伯特变换的核 $1/(\pi x)$ 恰好满足卡尔德龙–齐格蒙德核所要求的光滑性与相消条件,因此下一节中给出的一般奇异积分理论机制可以直接应用于它。该机制从第一步证明的 $L^2$ 估计出发,得到一个弱型 $(1,1)$ 估计,再通过弱-$(1,1)$ 估计与 $L^2$ 估计之间的马钦凯维奇插值(以及对 $p>2$ 的对偶论证)完成对一切 $1<p<\infty$ 的证明——这部分论证在下面的卡尔德龙–齐格蒙德一节中完整给出,此处不再重复。