奥斯特洛夫斯基定理（1916年）

概述。设 $|\cdot|$ 是 $\mathbb{Q}$ 上一个非平凡的绝对值。情形一（非阿基米德）： 若对每个整数 $n$ 都有 $|n| \le 1$，则集合 $\mathfrak{p} = \{n \in \mathbb{Z} : |n| < 1\}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个素理想（由于 $\mathbb{Z}$ 上任何满足 $|n|\le1$ 的绝对值都自动满足超度量不等式，它对加法封闭；由素性对乘法封闭），因此对唯一的素数 $p$ 有 $\mathfrak{p} = (p)$；比较 $|p|$ 与 $p^{-1}$ 并利用乘性即可证明 $|\cdot|$ 与 $|\cdot|_p$ 等价。情形二（阿基米德）： 若存在整数 $n_0$ 使 $|n_0| > 1$，将任意整数 $n > 1$ 以 $n_0$ 为底展开，并结合三角不等式与 $|n_0^k| = |n_0|^k \to \infty$，可用 $n$ 自身的幂从上下界住 $|n|$，从而迫使 $|n| = n^c$（常数 $c \in (0,1]$ 与 $n$ 无关）；这使得 $|\cdot|$ 与 $|\cdot|_\infty$ 等价。