普朗歇尔定理

第一步(特殊情形)。先对高斯函数 $f(x) = e^{-\pi x^2}$ 验证该等式。对指数配方直接计算可得 $\hat f(\xi) = e^{-\pi \xi^2}$,于是 $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ 两边都等于同一个高斯积分 $\int e^{-2\pi x^2}\,dx$。

第二步(用线性性与卷积定理推广)。对性质良好的(施瓦茨)函数 $f$,令 $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ 并取 $g = f * \tilde f$;则 $g(0) = \int |f(x)|^2\,dx$,再结合卷积定理 $\widehat{f * g} = \hat f \cdot \hat g$ 与傅里叶反演公式,可得 $g(0) = \int \hat g(\xi)\,d\xi = \int |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$。这就对包括高斯函数在内的一切光滑速降的施瓦茨函数证明了该等式。

第三步(稠密性论证)。施瓦茨函数在 $L^2(\mathbb{R})$ 中稠密:任意 $f \in L^2$ 都是施瓦茨函数列 $f_n \to f$ 在 $L^2$ 范数下的极限。由第二步,傅里叶变换在这个稠密子空间上是等距映射,因而唯一地延拓为整个 $L^2(\mathbb{R})$ 上仍满足 $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ 的有界算子——当定义积分 $\hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-2\pi i x \xi}\,dx$ 未必绝对收敛时,『$L^2$ 函数的傅里叶变换』正是指这个延拓。