维数定理

设 $B_1=\{v_1,\dots,v_m\}$ 与 $B_2=\{w_1,\dots,w_k\}$ 都是 $V$ 的基。因为 $B_1$ 张成 $V$(它是基)、$B_2$ 线性独立(它是基),把上面证明的交换引理直接应用于此,让 $B_1$ 充当张成集、$B_2$ 充当独立集,得到 $k\leq m$。

对称地,因为 $B_2$ 张成 $V$、$B_1$ 线性独立,把角色互换后再次应用交换引理——$B_2$ 充当张成集,$B_1$ 充当独立集——得到 $m\leq k$。

结合两个不等式 $k\leq m$ 与 $m\leq k$,就迫使 $k=m$:两个基恰好有相同数目的向量。

由于这个论证并未对具体选取哪两个有限基 $B_1,B_2$ 加以限制,所以 $V$ 的每一个有限基都拥有这同一个共同的大小。这就证明了把 $\dim(V)$ 定义为这个共同大小是合理的——它是空间 $V$ 本身的一个不变量,绝不依赖于用哪个基来计算它。