向量空间

独立向量的数目不可能超过一个张成集,因为每一个新的独立向量,总能被用来"换走"张成集中的一个向量,而不破坏张成性质——只有当张成集中所有向量都已被换完时,这种交换才会受阻,而此时再想不产生矛盾地添加另一个独立向量已经没有余地了,这正是 $k\leq m$ 得以确立的原因。

对目前已交换的 $w$ 的个数 $k$ 用归纳法论证。当 $k=0$ 时,不等式 $0\leq m$ 是显然的,也不需要任何交换。归纳假设 $w_1,\dots,w_{k-1}$ 已经换入,替换了原来 $v_i$ 中的 $k-1$ 个(重新编号使这些恰为 $v_1,\dots,v_{k-1}$),使得 $\{w_1,\dots,w_{k-1},v_k,\dots,v_m\}$ 仍然张成 $V$。

若 $k-1$ 已经等于 $m$,说明所有 $v_i$ 都已被用完,于是仅 $\{w_1,\dots,w_{k-1}\}$ 就张成 $V$;但这样一来 $w_k\in V$ 就会是 $w_1,\dots,w_{k-1}$ 的线性组合,这与 $\{w_1,\dots,w_k\}$ 的线性独立性相矛盾。因此,在还需对当前的 $k$ 证明 $k\leq m$ 时,这种情形不可能发生——准确地说,这立即表明 $k-1<m$,即 $k\leq m$。

否则 $k-1<m$,于是(在 $v_k,\dots,v_m$ 中)至少还剩一个 $v_j$。因为 $\{w_1,\dots,w_{k-1},v_k,\dots,v_m\}$ 张成 $V$,把 $w_k$ 写成组合 $w_k=\lambda_1w_1+\cdots+\lambda_{k-1}w_{k-1}+\mu_1v_{j_1}+\cdots+\mu_{m-k+1}v_{j_{m-k+1}}$。若剩余各 $v$ 上的系数 $\mu_1,\dots$ 全部为 $0$,那么 $w_k$ 就只是 $w_1,\dots,w_{k-1}$ 的组合,这又与独立性相矛盾——所以剩余的某个 $v_j$ 的系数非零。

把这个方程解出 $v_j$(除以它那个非零系数),将 $v_j$ 表示成 $w_1,\dots,w_k$ 与其余剩余 $v$ 的组合。把这个表达式代入 $v_j$ 出现的每一处,就说明 $\{w_1,\dots,w_k\}$ 与剩余的 $v$(去掉 $v_j$)一起仍然张成 $V$——又成功地用 $w_k$ 换掉了一个 $v$,归纳步骤完成,$k\leq m$ 得到确认。

一个基同时既是张成集又是独立集,所以把交换引理分别向两个方向各用一次——一次把 $B_1$ 当作张成集、$B_2$ 当作独立集,另一次反过来——就会把两个大小相互夹逼,直到它们必须相等。

设 $B_1=\{v_1,\dots,v_m\}$ 与 $B_2=\{w_1,\dots,w_k\}$ 都是 $V$ 的基。因为 $B_1$ 张成 $V$(它是基)、$B_2$ 线性独立(它是基),把上面证明的交换引理直接应用于此,让 $B_1$ 充当张成集、$B_2$ 充当独立集,得到 $k\leq m$。

对称地,因为 $B_2$ 张成 $V$、$B_1$ 线性独立,把角色互换后再次应用交换引理——$B_2$ 充当张成集,$B_1$ 充当独立集——得到 $m\leq k$。

结合两个不等式 $k\leq m$ 与 $m\leq k$,就迫使 $k=m$:两个基恰好有相同数目的向量。

由于这个论证并未对具体选取哪两个有限基 $B_1,B_2$ 加以限制,所以 $V$ 的每一个有限基都拥有这同一个共同的大小。这就证明了把 $\dim(V)$ 定义为这个共同大小是合理的——它是空间 $V$ 本身的一个不变量,绝不依赖于用哪个基来计算它。