泊松求和公式

第一步(周期化)。对施瓦茨函数 $f$,令 $F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(x+n)$。由 $f$ 的快速衰减性,该级数绝对且一致收敛, $F$ 是周期为1的光滑函数,因而在圆周上有自己的傅里叶级数。

第二步(计算周期化函数的傅里叶系数)。 $F$ 的第 $k$ 个傅里叶系数为 $c_k = \int_0^1 F(x) e^{-2\pi i k x}\,dx = \sum_{n} \int_0^1 f(x+n) e^{-2\pi i k x}\,dx$。对每一项作代换 $y = x+n$,并利用 $e^{-2\pi i k x}$ 关于 $n$ 的周期性,把各段重新拼成整个 $\mathbb{R}$ 上的单一积分: $c_k = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-2\pi i k y}\,dy = \hat f(k)$。

第三步(在 x=0 处求值)。由于 $F$ 光滑,它的傅里叶级数逐点收敛到自身,特别是在 $x=0$ 处: $F(0) = \sum_k c_k e^{0}$,即 $\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat f(k)$。左边按定义恰好是 $F(0) = \sum_n f(n)$,证明完成。