维格纳半圆定律

第一步(目标)。支撑于 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ 上的半圆密度 $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ 的矩是卡塔兰数:第 $2k$ 阶矩等于 $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$,且由对称性所有奇数阶矩都为零。因此只需证明缩放后经验特征值分布的矩收敛到同样的数值。

第二步(展开迹)。写出 $\operatorname{Tr}(H^{2k}) = \sum_{i_1,\dots,i_{2k}} H_{i_1 i_2} H_{i_2 i_3} \cdots H_{i_{2k} i_1}$,即 $\{1,\dots,N\}$ 上长度为 $2k$ 的闭合游走之和。取期望并利用元素独立性,$\mathbb{E}[\operatorname{Tr}(H^{2k})]$ 按将 $2k$ 个因子两两配对的方式分解为若干项之和,每项是各配对的二阶矩 $\mathbb{E}[H_{ij}H_{kl}]$ 的乘积(由于均值为零,奇数阶联合矩为零,未配对的因子也因 $\mathbb{E}[H_{ij}]=0$ 而为零)。

第三步(只有不交叉配对在主阶存活)。每种配对方式对应闭合游走边的一种等同方式;一种配对贡献的 $N$ 的幂次由所访问的不同顶点数决定。计数表明,只有当被等同的边构成 $2k$ 个端点的不交叉(平面)配对时,该配对才在 $N^{k+1}$ 阶贡献;交叉配对在 $N$ 中贡献严格更低阶,在除以 $N^{k+1}$ 归一化后消失。

第四步(计数并得出结论)。圆周上 $2k$ 个点的不交叉配对数恰好是卡塔兰数 $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$。因此当 $N \to \infty$ 时 $\frac{1}{N}\mathbb{E}[\operatorname{Tr}((H/\sqrt{N})^{2k})] \to C_k$,逐项匹配 $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ 的矩;由于半圆分布由其矩唯一确定,经验谱分布收敛到该分布。