随机矩阵理论

H 的高次幂的迹是索引集上闭合游走的求和;由于各元素独立且均值为 0,只有每条边被经过偶数次的路径才能在取期望后存活,而统计这些占主导的路径归结为一个纯组合问题,其答案正是卡塔兰数——恰好是半圆分布的矩。

第一步(目标)。支撑于 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ 上的半圆密度 $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ 的矩是卡塔兰数:第 $2k$ 阶矩等于 $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$,且由对称性所有奇数阶矩都为零。因此只需证明缩放后经验特征值分布的矩收敛到同样的数值。

第二步(展开迹)。写出 $\operatorname{Tr}(H^{2k}) = \sum_{i_1,\dots,i_{2k}} H_{i_1 i_2} H_{i_2 i_3} \cdots H_{i_{2k} i_1}$,即 $\{1,\dots,N\}$ 上长度为 $2k$ 的闭合游走之和。取期望并利用元素独立性,$\mathbb{E}[\operatorname{Tr}(H^{2k})]$ 按将 $2k$ 个因子两两配对的方式分解为若干项之和,每项是各配对的二阶矩 $\mathbb{E}[H_{ij}H_{kl}]$ 的乘积(由于均值为零,奇数阶联合矩为零,未配对的因子也因 $\mathbb{E}[H_{ij}]=0$ 而为零)。

第三步(只有不交叉配对在主阶存活)。每种配对方式对应闭合游走边的一种等同方式;一种配对贡献的 $N$ 的幂次由所访问的不同顶点数决定。计数表明,只有当被等同的边构成 $2k$ 个端点的不交叉(平面)配对时,该配对才在 $N^{k+1}$ 阶贡献;交叉配对在 $N$ 中贡献严格更低阶,在除以 $N^{k+1}$ 归一化后消失。

第四步(计数并得出结论)。圆周上 $2k$ 个点的不交叉配对数恰好是卡塔兰数 $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$。因此当 $N \to \infty$ 时 $\frac{1}{N}\mathbb{E}[\operatorname{Tr}((H/\sqrt{N})^{2k})] \to C_k$,逐项匹配 $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ 的矩;由于半圆分布由其矩唯一确定,经验谱分布收敛到该分布。

2x2 矩阵是最小的、两个特征值之间存在间距的系统,并且足够小,可以手动计算其元素的联合密度——但它已经包含了本质机制(间距依赖于一个非对角元素,要使特征值简并该元素必须为零,而这个消失恰是产生排斥而非聚集的单一额外条件)。

第一步(设置)。设 $H = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ 为 $2\times2$ 的 GOE 矩阵,其中 $a,c$ 独立同标准正态分布,$b$ 独立正态分布且方差为 $\frac12$。其特征多项式给出特征值 $\lambda_{\pm} = \frac{a+c}{2} \pm \frac{s}{2}$,间距为 $s = \sqrt{(a-c)^2 + 4b^2}$。

第二步(变量替换)。令 $u = \frac{a-c}{\sqrt{2}}, \; v = b\sqrt{2}$;直接验证方差可知 $u$ 与 $v$ 是独立标准正态变量,且精确地有 $s = \sqrt{u^2+v^2}$,因为 $(a-c)^2+4b^2 = 2u^2+2v^2$ 在代换后化简为 $2(u^2+v^2)$——于是 $s = \sqrt{2}\cdot\sqrt{(u^2+v^2)/2}$,即 $s$ 是标准二维高斯向量半径的 $\sqrt{2}$ 倍。

第三步(极坐标)。标准二维高斯向量的半径 $r=\sqrt{u^2+v^2}$ 服从密度为 $r\,e^{-r^2/2}$ 的瑞利分布(将联合高斯密度 $\frac{1}{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}$ 对角度积分给出因子 $2\pi$,而 $du\,dv = r\,dr\,d\theta$ 给出雅可比行列式 $r$)。代入 $r = s/\sqrt2$ 并利用 $dr = ds/\sqrt2$,可将其化为关于 $s$ 的密度 $c\cdot s\, e^{-s^2/4}$,其中 $c$ 为某常数。

第四步(归一化)。选取 $c$ 使平均间距 $\int_0^\infty s\cdot p(s)\,ds = 1$(理论中通用的约定)成立,可确定 $c = \pi/2$,恰好得到 $p(s) = \frac{\pi s}{2} e^{-\pi s^2/4}$,与所述公式相符。