关于能级间距的维格纳猜想式

第一步(设置)。设 $H = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ 为 $2\times2$ 的 GOE 矩阵,其中 $a,c$ 独立同标准正态分布,$b$ 独立正态分布且方差为 $\frac12$。其特征多项式给出特征值 $\lambda_{\pm} = \frac{a+c}{2} \pm \frac{s}{2}$,间距为 $s = \sqrt{(a-c)^2 + 4b^2}$。

第二步(变量替换)。令 $u = \frac{a-c}{\sqrt{2}}, \; v = b\sqrt{2}$;直接验证方差可知 $u$ 与 $v$ 是独立标准正态变量,且精确地有 $s = \sqrt{u^2+v^2}$,因为 $(a-c)^2+4b^2 = 2u^2+2v^2$ 在代换后化简为 $2(u^2+v^2)$——于是 $s = \sqrt{2}\cdot\sqrt{(u^2+v^2)/2}$,即 $s$ 是标准二维高斯向量半径的 $\sqrt{2}$ 倍。

第三步(极坐标)。标准二维高斯向量的半径 $r=\sqrt{u^2+v^2}$ 服从密度为 $r\,e^{-r^2/2}$ 的瑞利分布(将联合高斯密度 $\frac{1}{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}$ 对角度积分给出因子 $2\pi$,而 $du\,dv = r\,dr\,d\theta$ 给出雅可比行列式 $r$)。代入 $r = s/\sqrt2$ 并利用 $dr = ds/\sqrt2$,可将其化为关于 $s$ 的密度 $c\cdot s\, e^{-s^2/4}$,其中 $c$ 为某常数。

第四步(归一化)。选取 $c$ 使平均间距 $\int_0^\infty s\cdot p(s)\,ds = 1$(理论中通用的约定)成立,可确定 $c = \pi/2$,恰好得到 $p(s) = \frac{\pi s}{2} e^{-\pi s^2/4}$,与所述公式相符。