换底公式

设 $y=\log_b x$。按对数定义,这意味着 $b^y=x$。

再次利用对数定义(这次对底 $c$),$b$ 本身可以写成 $b=c^{\log_c b}$。将其代入 $b^y=x$:$$(c^{\log_c b})^y = x \;\Longrightarrow\; c^{y\log_c b} = x,$$ 用到幂的幂法则 $(c^m)^y=c^{my}$。

两边取 $\log_c$。按定义,$c^{y\log_c b}=x$ 恰好意味着 $\log_c x = y\log_c b$(积法则证明中用到的同一单射性事实 $a^u=a^v \Rightarrow u=v$ 保证了这一步是有效的,而不仅仅是"看起来合理")。

因为 $c\ne 1$,所以 $\log_c b \ne 0$(因为 $c^0=1\ne b$),于是两边可以同除以 $\log_c b$:$$y = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}.$$ 回想 $y=\log_b x$,恰好得到 $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$。