11 年级

指数函数与对数函数

描述重复相乘及其逆运算的函数,用于增长、衰减以及 pH、分贝等标度。

直观自我累积的增长

每小时数量翻倍的细菌群落、按复利增长的钱,以及每年损失固定比例的放射性样本,都有相同的形态:已有的量决定接下来增加多少,所以总量在每一步都乘以一个恒定因子 $a$ ——这就是指数函数 $a^x$ 。对数函数 $\log_a x$ 回答相反的问题:"乘以 $a$ 要多少步才能到达 $x$ ?"——这正是求解增长问题中时间所需要的工具,也是把一个巨大范围的数值(比如声强或酸度)压缩到便于管理的标度所需要的工具。

指数曲线的

3

阶泰勒近似

1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{5}x^3

:当

x > 0

时,正的各阶导数使图像向上急剧攀升。

中学定义与基本法则

定义: 指数函数与对数函数

对固定的底 $a>0$ 、 $a\ne 1$ ,指数函数 $a^x$ 对每个实数 $x$ 都有定义。它的反函数是对数 $\log_a x$ ,对 $x>0$ 定义为"要得到 $x$ ,必须把 $a$ 提升到多少次方":按定义, $y=\log_a x$ 恰好表示 $a^y=x$ 。互为反函数意味着 $a^{\log_a x}=x,\quad \log_a(a^x)=x$

a^{x+y} = a^x \cdot a^y

这一指数法则——输出相乘对应于指数相加——正是每一条对数法则生长出来的代数种子,因为对数正是被定义为一个指数。特别地,它将推动下面证明:在 $a>0,\ a\ne 1,\ x,y>0$ 条件下 $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ 。

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

基本对数法则
法则	表述(对合法的 $a,x,y$ )
积	$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
商	$\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$
幂	$\log_a(x^k) = k\log_a x$
换底	$\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$

大学两个核心定理

定理: 对数的积法则

对 $a>0,\ a\ne 1,\ x,y>0$ ,有 $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ 。

为什么成立?

对数不过是伪装的指数,而当你把相应的幂相乘时指数会相加——所以对数内部的乘法应当变成对数外部的加法。

证明

设 $u=\log_a x$ 、 $v=\log_a y$ 。按对数的定义(它是指数函数的反函数),这恰好意味着 $a^u=x$ 与 $a^v=y$ 。

将这两个等式相乘: $xy = a^u \cdot a^v$ 。由指数法则 $a^{u+v}=a^u\cdot a^v$ ,右边等于 $a^{u+v}$ ,故 $xy=a^{u+v}$ 。

再次由对数定义, $xy=a^{u+v}$ 恰好意味着 $\log_a(xy)=u+v$ ——但这用到了产生给定输出的指数是唯一的,即当 $a>0,a\ne 1$ 时 $a^u=a^v \Rightarrow u=v$ (指数函数在 $a>1$ 时严格递增、在 $0<a<1$ 时严格递减,故对两个不同的指数永远不会给出相同的输出)。

代回 $u=\log_a x$ 、 $v=\log_a y$ ,得到 $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ ,即 $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ 。

定理: 换底公式

对合法的底 $b,c>0$ 、 $b,c\ne 1$ 及 $x>0$ ,有 $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ 。

为什么成立?

计算器和计算机只实现一两个固定底的对数;这个公式通过用"需要乘以 $c$ 多少次"来表示"需要乘以 $b$ 多少次",使得可以从这些底计算出任意底。

证明

设 $y=\log_b x$ 。按对数定义,这意味着 $b^y=x$ 。

再次利用对数定义(这次对底 $c$ ), $b$ 本身可以写成 $b=c^{\log_c b}$ 。将其代入 $b^y=x$ : $(c^{\log_c b})^y = x \;\Longrightarrow\; c^{y\log_c b} = x,$ 用到幂的幂法则 $(c^m)^y=c^{my}$ 。

两边取 $\log_c$ 。按定义, $c^{y\log_c b}=x$ 恰好意味着 $\log_c x = y\log_c b$ (积法则证明中用到的同一单射性事实 $a^u=a^v \Rightarrow u=v$ 保证了这一步是有效的,而不仅仅是"看起来合理")。

因为 $c\ne 1$ ,所以 $\log_c b \ne 0$ (因为 $c^0=1\ne b$ ),于是两边可以同除以 $\log_c b$ : $y = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}.$ 回想 $y=\log_b x$ ,恰好得到 $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ 。

大学实际应用与典型例题

指数函数支配着金融中的复利、生物学中的人口与疫情增长以及物理学中的放射性衰变,而对数则让科学家和工程师能把巨大的数值范围压缩成便于使用的标度:酸度的 pH 标度、声强的分贝标度、地震震级的里氏类标度都是对数式的。求解"一个量翻倍需要多久"或"是什么输入产生了这个读数"总是意味着取对数。

例题: 复利与翻倍时间

一笔金额 $P=1000$ USD 以年利率 $r=5\%$ 投资,按 $A = P(1+r)^t$ 增长。 $t=10$ 年后价值多少?需要多少年才能翻倍(用 $\ln 2\approx 0.6931$ 、 $\ln 1.05\approx 0.04879$ )?

解答

将 $P=1000$ 、 $r=0.05$ 、 $t=10$ 代入 $A = P(1+r)^t$ : $A=1000(1.05)^{10}\approx 1000\times 1.6289=1628.9$ ,所以10年后这笔投资价值约 $1628.90$ 。

要求翻倍时间,需要 $A=2P$ ,即 $2P=P(1+r)^t$ ,所以 $(1+r)^t=2$ 。这正是求解一个未知指数的要求——正是对数的定义性工作。

两边取 $\ln$ (由换底公式 $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ 知任何底都可以,为方便起见选自然对数):利用对数的幂法则得 $t\ln(1+r)=\ln 2$ 。解得 $t=\dfrac{\ln 2}{\ln(1+r)}$ 。

代入给定数值: $t=\dfrac{0.6931}{0.04879}\approx 14.2$ 年——这具体说明了金融中常用的"70/72法则"近似,此处是直接由对数法则推导而来,而非凭空假设。

例题: 计算溶液的 pH 值

化学家用 $\text{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ 定义酸度,其中 $[\mathrm{H^+}]$ 是氢离子浓度(mol/L)。一份醋样品的 $[\mathrm{H^+}]=10^{-3}$ mol/L。求其 pH 值,并解释为什么 pH 变化 $1$ 个单位对应浓度变化 $10\times$ 。

解答

把浓度代入定义: $\text{pH}=-\log_{10}(10^{-3})$ 。

按对数的定义, $\log_{10}(10^{-3})$ 恰好是把 $10$ 提升多少次方得到 $10^{-3}$ 的指数,即 $-3$ (这是取 $a=10$ 时逆关系 $a^{\log_a x}=x,\quad \log_a(a^x)=x$ 的最简单情形)。所以 $\text{pH}=-(-3)=3$ 。

对于第二部分,设浓度从 $[\mathrm{H^+}]$ 变为 $10\times[\mathrm{H^+}]$ 。对 $x=[\mathrm{H^+}]$ 、 $y=10$ 使用积法则 $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ : $\log_{10}(10\cdot[\mathrm{H^+}]) = \log_{10}[\mathrm{H^+}] + \log_{10}10 = \log_{10}[\mathrm{H^+}] + 1$ 。

所以浓度乘以 $10$ 会使 $\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ 恰好增加 $1$ ,从而(由于 $\text{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ )使 pH 恰好减少 $1$ ——这正是 pH 标度是对数式的原因:每一个整数单位的台阶代表酸度十倍的变化,积法则使这一点精确成立,而不只是经验法则。

$\log_2 8$ 等于多少?

用积法则 $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ 化简 $\log_3 4 + \log_3 9$ 。

用换底公式 $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ ,下列哪个表达式等于 $\log_2 5$ ?

某溶液的 $[\mathrm{H^+}]=10^{-3}$ mol/L。用 $\text{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ ,它的 pH 值是多少?