单调性的充分条件

在 $[a,b]$ 中任取 $x_1<x_2$。因为 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续，在 $(x_1,x_2)$ 上可导，由拉格朗日中值定理，存在 $c\in(x_1,x_2)$ 使得 $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$。

由于 $f'(c)\ge 0$ 且 $x_2-x_1>0$，右边 $\ge 0$，于是 $f(x_2)\ge f(x_1)$。这已经说明 $f$ 在 $[a,b]$ 上不减。

为了把"不减"提升为真正的"递增"（尽管 $f'$ 有有限多个零点），将这些零点在 $(x_1,x_2)$ 内记为 $t_1<t_2<\dots<t_k$。在序列 $\{x_1,t_1,\dots,t_k,x_2\}$ 相邻两点之间的每个开区间上，$f'$ 严格为正，于是把同样的中值定理论证用于该区间内任意两点，就得到那里的严格不等式 $f(u)<f(v)$（$u<v$）。

由 $f$ 的连续性，相邻区间上的严格不等式可以衔接起来：比如若 $x_1<u<t_1<v<x_2$，则 $f(x_1)<f(u)<f(t_1)\le f(v)<f(x_2)$，而由于 $u,v$ 可以任意接近两端点，从而得到 $f(x_1)<f(x_2)$。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上（严格）递增。递减的情形对 $-f$ 应用同样论证即可。