导数的应用

导数为正意味着每条切线都指向上坡；始终沿着上坡切线走的曲线不可能往下走。拉格朗日中值定理把这幅图景变成了任意两点之间严格的不等式。

在 $[a,b]$ 中任取 $x_1<x_2$。因为 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续，在 $(x_1,x_2)$ 上可导，由拉格朗日中值定理，存在 $c\in(x_1,x_2)$ 使得 $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$。

由于 $f'(c)\ge 0$ 且 $x_2-x_1>0$，右边 $\ge 0$，于是 $f(x_2)\ge f(x_1)$。这已经说明 $f$ 在 $[a,b]$ 上不减。

为了把"不减"提升为真正的"递增"（尽管 $f'$ 有有限多个零点），将这些零点在 $(x_1,x_2)$ 内记为 $t_1<t_2<\dots<t_k$。在序列 $\{x_1,t_1,\dots,t_k,x_2\}$ 相邻两点之间的每个开区间上，$f'$ 严格为正，于是把同样的中值定理论证用于该区间内任意两点，就得到那里的严格不等式 $f(u)<f(v)$（$u<v$）。

由 $f$ 的连续性，相邻区间上的严格不等式可以衔接起来：比如若 $x_1<u<t_1<v<x_2$，则 $f(x_1)<f(u)<f(t_1)\le f(v)<f(x_2)$，而由于 $u,v$ 可以任意接近两端点，从而得到 $f(x_1)<f(x_2)$。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上（严格）递增。递减的情形对 $-f$ 应用同样论证即可。

在极值点处切线必须是水平的，因为曲线不可能越过山峰（或谷底）而不掉头继续上升（或下降）；此时二阶导数衡量曲线在这个平坦点处向哪个方向弯曲，从而区分谷底与山峰。

（必要性）设 $x_0$ 是局部极大值点（局部极小的情形类似）。存在 $\delta>0$，使得对满足 $|x-x_0|<\delta$ 的一切 $x$ 都有 $f(x)\le f(x_0)$。对 $h\in(0,\delta)$，$\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0$，令 $h\to 0^+$ 得 $f'(x_0)\le 0$。对 $h\in(-\delta,0)$，分子 $\le 0$ 而分母为负，故 $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0$，令 $h\to 0^-$ 得 $f'(x_0)\ge 0$。由于 $f$ 在 $x_0$ 处可导，两个单侧极限必须相等，从而 $f'(x_0)=0$。

（充分性，$f''(x_0)>0$ 的情形）由 $f'(x_0)=0$ 且 $f''$ 在 $x_0$ 附近存在，利用 $f''$ 是 $f'$ 的导数这一定义，当 $x\to x_0$ 时 $f'(x)=f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)=f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$。因为 $f''(x_0)>0$，当 $x$ 略小于 $x_0$ 时该式为负，当 $x$ 略大于 $x_0$ 时为正。

于是 $f'$ 在 $x_0$ 两侧由 $-$ 变为 $+$：由单调性定理，$f$ 在 $x_0$ 左侧邻近递减、右侧邻近递增，这正是 $x_0$ 处局部极小值的定义。

$f''(x_0)<0$ 的情形完全类似，只需把所有不等号反向，得到 $f'$ 由 $+$ 变为 $-$，从而是局部极大值。当 $f''(x_0)=0$ 时，上述展开式无法给出 $x_0$ 附近 $f'$ 符号的信息，判别法失效，必须直接考察 $f'$ 的符号（如下面的常见错误部分用 $f(x)=x^3$ 所示）。