边缘算子的平方为零

只需在单个 $n$-单形 $\sigma = [v_0, \dots, v_n]$ 上验证该结论，再用线性性扩展即可。按定义，$\partial_n \sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i [v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$，其中 $\hat{v_i}$ 表示删去 $v_i$。

对每一项作用 $\partial_{n-1}$，再从 $[v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$ 中删去第二个顶点 $v_j$（$j \ne i$），得到恰好缺少两个顶点 $v_i, v_j$ 的面 $[v_0, \dots, \hat{v_j}, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$。仔细跟踪符号：当 $j < i$ 时，位置 $j$ 先被删去（符号 $(-1)^j$），处于已带符号 $(-1)^i$ 的项内，总符号为 $(-1)^{i+j}$；当 $j > i$ 时，从 $(n-1)$-单形 $[v_0,\dots,\hat{v_i},\dots,v_n]$ 中删去 $v_j$ 会移除此时位于位置 $j-1$ 的顶点（因为 $v_i$ 已先被删去），符号为 $(-1)^i (-1)^{j-1} = -(-1)^{i+j}$。

因此 $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = \sum_{j<i} (-1)^{i+j} [\dots,\hat{v_j},\dots,\hat{v_i},\dots] + \sum_{j>i} \left(-(-1)^{i+j}\right) [\dots,\hat{v_i},\dots,\hat{v_j},\dots]$。每个恰好缺少两个顶点 $\{v_i, v_j\}$（$i < j$）的面在此双重和中恰好出现两次：一次来自先删 $v_i$ 后删 $v_j$（贡献 $-(-1)^{i+j}$），一次来自先删 $v_j$ 后删 $v_i$（贡献 $+(-1)^{i+j}$），两者恰好相反。

所有项两两相消，故对每个单形 $\sigma$ 有 $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = 0$，由线性性得 $C_n$ 全体上 $\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0$。