同调与上同调

正是这一个恒等式使同调良定义：它保证 $\operatorname{im} \partial_{n+1} \subseteq \ker \partial_n$，从而 $H_n(X)$ 定义中的商确实作为群有意义。

只需在单个 $n$-单形 $\sigma = [v_0, \dots, v_n]$ 上验证该结论，再用线性性扩展即可。按定义，$\partial_n \sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i [v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$，其中 $\hat{v_i}$ 表示删去 $v_i$。

对每一项作用 $\partial_{n-1}$，再从 $[v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$ 中删去第二个顶点 $v_j$（$j \ne i$），得到恰好缺少两个顶点 $v_i, v_j$ 的面 $[v_0, \dots, \hat{v_j}, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$。仔细跟踪符号：当 $j < i$ 时，位置 $j$ 先被删去（符号 $(-1)^j$），处于已带符号 $(-1)^i$ 的项内，总符号为 $(-1)^{i+j}$；当 $j > i$ 时，从 $(n-1)$-单形 $[v_0,\dots,\hat{v_i},\dots,v_n]$ 中删去 $v_j$ 会移除此时位于位置 $j-1$ 的顶点（因为 $v_i$ 已先被删去），符号为 $(-1)^i (-1)^{j-1} = -(-1)^{i+j}$。

因此 $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = \sum_{j<i} (-1)^{i+j} [\dots,\hat{v_j},\dots,\hat{v_i},\dots] + \sum_{j>i} \left(-(-1)^{i+j}\right) [\dots,\hat{v_i},\dots,\hat{v_j},\dots]$。每个恰好缺少两个顶点 $\{v_i, v_j\}$（$i < j$）的面在此双重和中恰好出现两次：一次来自先删 $v_i$ 后删 $v_j$（贡献 $-(-1)^{i+j}$），一次来自先删 $v_j$ 后删 $v_i$（贡献 $+(-1)^{i+j}$），两者恰好相反。

所有项两两相消，故对每个单形 $\sigma$ 有 $\partial_{n-1}\partial_n \sigma = 0$，由线性性得 $C_n$ 全体上 $\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0$。

这表明胞腔数目的交错和（一个可以手算的组合量）等于贝蒂数的交错和（一个只依赖于形状、不依赖三角剖分的拓扑不变量）。它将 $V - E + F = 2$ 推广到了每个维度。

固定 $n$，将边缘映射 $\partial_n : C_n \to C_{n-1}$ 看作有限维向量空间间的线性映射（为简便起见在 $\mathbb{Q}$ 上讨论）。由秩–零化度定理，$\operatorname{rank} C_n = \dim \ker \partial_n + \operatorname{rank} \partial_n$，其中 $\operatorname{rank}\partial_n := \dim \operatorname{im} \partial_n$。

此外，由商的定义 $H_n = \ker \partial_n / \operatorname{im}\partial_{n+1}$ 直接得 $\dim H_n(X) = \dim \ker \partial_n - \dim \operatorname{im} \partial_{n+1}$，故 $\dim \ker \partial_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1}$。

代入得 $\operatorname{rank} C_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \operatorname{rank}\partial_n$。现在对所有 $n$（从 $0$ 到最高维 $N$）取交错和：$\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_n$。

在后两个和中，项 $\operatorname{rank}\partial_k$ 在 $\operatorname{rank}\partial_n$ 的和中出现一次（当 $n=k$ 时，符号 $(-1)^k$），在 $\operatorname{rank}\partial_{n+1}$ 的和中出现一次（当 $n=k-1$ 时，符号 $(-1)^{k-1}$）；这两个符号相反，因此除去本就贡献为零的边界项 $\partial_0 = 0$ 与 $\partial_{N+1}=0$ 外，每个 $\operatorname{rank}\partial_k$ 都恰好相消（伸缩求和）。

剩下的就是 $\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n$，而左边按定义就是 $\chi(X)$，这正是 $\chi(X) = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \beta_n(X)$。