欧拉–庞加莱定理

固定 $n$，将边缘映射 $\partial_n : C_n \to C_{n-1}$ 看作有限维向量空间间的线性映射（为简便起见在 $\mathbb{Q}$ 上讨论）。由秩–零化度定理，$\operatorname{rank} C_n = \dim \ker \partial_n + \operatorname{rank} \partial_n$，其中 $\operatorname{rank}\partial_n := \dim \operatorname{im} \partial_n$。

此外，由商的定义 $H_n = \ker \partial_n / \operatorname{im}\partial_{n+1}$ 直接得 $\dim H_n(X) = \dim \ker \partial_n - \dim \operatorname{im} \partial_{n+1}$，故 $\dim \ker \partial_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1}$。

代入得 $\operatorname{rank} C_n = \beta_n + \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \operatorname{rank}\partial_n$。现在对所有 $n$（从 $0$ 到最高维 $N$）取交错和：$\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_{n+1} + \sum_n (-1)^n \operatorname{rank}\partial_n$。

在后两个和中，项 $\operatorname{rank}\partial_k$ 在 $\operatorname{rank}\partial_n$ 的和中出现一次（当 $n=k$ 时，符号 $(-1)^k$），在 $\operatorname{rank}\partial_{n+1}$ 的和中出现一次（当 $n=k-1$ 时，符号 $(-1)^{k-1}$）；这两个符号相反，因此除去本就贡献为零的边界项 $\partial_0 = 0$ 与 $\partial_{N+1}=0$ 外，每个 $\operatorname{rank}\partial_k$ 都恰好相消（伸缩求和）。

剩下的就是 $\sum_n (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_n (-1)^n \beta_n$，而左边按定义就是 $\chi(X)$，这正是 $\chi(X) = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \operatorname{rank} C_n = \sum_{n\ge 0} (-1)^n \beta_n(X)$。