定理已证明

椭圆焦距和定理

命题陈述

若 $P(x,y)$ 在焦点为 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ 、满足 $c^2=a^2-b^2$ 的椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上,则 $PF_1+PF_2=2a$ 。

为什么成立?

这其实就是椭圆定义的重新表述:这条曲线正是由两个焦距之和为常数的点构成的。该定理表明这个常数是长轴长度 $2a$ ,与代数方程相符。

证明思路

设 P(x,y) 为椭圆上任意一点,记 r1 = PF1,r2 = PF2。由距离公式,r1^2 = (x+c)^2 + y^2,r2^2 = (x-c)^2 + y^2,于是 r1^2 - r2^2 = 4cx。

将左边分解为 (r1-r2)(r1+r2) = 4cx。由于椭圆上的点总满足 r1+r2 = s(某个正常数 s,下面将确认 s = 2a),于是 r1 - r2 = 4cx/s。

将 r1+r2 = s 与 r1-r2 = 4cx/s 相加相减,得 r1 = s/2 + 2cx/s,r2 = s/2 - 2cx/s。将 r1 代回 r1^2 = (x+c)^2+y^2,并利用椭圆方程给出的 y^2 = b^2(1-x^2/a^2) 化简,当 s = 2a 且 c^2 = a^2-b^2 时 x^2 项相消。

所以不变的和为 s = 2a:椭圆上每一点都满足 PF1+PF2 = 2a,如命题所述。

用到此定理的主题

三种圆锥曲线

分步证明

该定理暂无分步证明。