10 年级

三种圆锥曲线

椭圆、双曲线与抛物线,由圆锥截面得到,并可用平面方程定义。

直观切割圆锥:一种形状产生三种曲线

取一个双圆锥,用一个平面去切它。稍微倾斜平面,会得到一个封闭的卵形曲线,即椭圆。再倾斜一些,使平面与圆锥的母线平行,卵形就会打开成为抛物线 ( $y^2=2px$ )。倾斜得更多,使平面同时切到圆锥的两侧,就会得到双曲线的两支。这三条曲线——以及作为特殊椭圆的圆——都来自同一个简单的想法:平面以不同角度与圆锥相交。

在椭圆

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

(带焦点

F_1, F_2

与定和

PF_1+PF_2=2a

)、双曲线(带渐近线)与抛物线

y^2=2ax

(带焦点和准线)之间切换比较。

中学平面中的标准方程

定义: 椭圆

椭圆是平面上到两个定点 $F_1,F_2$ (焦点)的距离之和为常数的点 $P$ 的集合: $PF_1+PF_2=2a$ ,其中 $2a$ 大于距离 $F_1F_2$ 。

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

这里 $a>b>0$ ;顶点在 $(\pm a,0)$ ,焦点为 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ ,满足 $c^2=a^2-b^2$ 。数 $e=c/a$ 称为离心率,对椭圆而言 $e<1$ : $e$ 越接近 $0$ ,椭圆越接近圆。

定义: 双曲线

双曲线是到两个定点 $F_1,F_2$ 的距离之差的绝对值为常数的点 $P$ 的集合: $|PF_1-PF_2|=2a$ ,其中 $2a$ 小于 $F_1F_2$ 。

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

此时焦点满足 $c^2=a^2+b^2$ ,顶点为 $(\pm a,0)$ ,当 $|x|\to\infty$ 时两支趋近渐近线 $y=\pm\frac{b}{a}x$ 。离心率满足 $e>1$ :两支越尖锐, $e$ 越大。

定义: 抛物线

抛物线是到定点 $F$ (焦点)与定直线(准线)距离相等的点 $P$ 的集合。在标准位置下,焦点为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ ,准线为 $x=-\frac{p}{2}$ ,其方程为 $y^2=2px$ ( $p>0$ )。

y^2=2px

抛物线上每一点到 $F$ 的距离都等于到直线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离。按照约定,抛物线的离心率为 $e=1$ ,恰好介于椭圆的 $e<1$ 与双曲线的 $e>1$ 之间。

三种圆锥曲线对照
曲线	标准方程	焦点性质	离心率
椭圆	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$PF_1+PF_2=2a$	$e<1$
双曲线	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$\|PF_1-PF_2\|=2a$	$e>1$
抛物线	$y^2=2px$	到焦点的距离 = 到准线的距离	$e=1$

大学定理:由方程推出的焦点性质

定理: 椭圆焦距和定理

若 $P(x,y)$ 在焦点为 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ 、满足 $c^2=a^2-b^2$ 的椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上,则 $PF_1+PF_2=2a$ 。

为什么成立?

这其实就是椭圆定义的重新表述:这条曲线正是由两个焦距之和为常数的点构成的。该定理表明这个常数是长轴长度 $2a$ ,与代数方程相符。

证明

设 P(x,y) 为椭圆上任意一点,记 r1 = PF1,r2 = PF2。由距离公式,r1^2 = (x+c)^2 + y^2,r2^2 = (x-c)^2 + y^2,于是 r1^2 - r2^2 = 4cx。

将左边分解为 (r1-r2)(r1+r2) = 4cx。由于椭圆上的点总满足 r1+r2 = s(某个正常数 s,下面将确认 s = 2a),于是 r1 - r2 = 4cx/s。

将 r1+r2 = s 与 r1-r2 = 4cx/s 相加相减,得 r1 = s/2 + 2cx/s,r2 = s/2 - 2cx/s。将 r1 代回 r1^2 = (x+c)^2+y^2,并利用椭圆方程给出的 y^2 = b^2(1-x^2/a^2) 化简,当 s = 2a 且 c^2 = a^2-b^2 时 x^2 项相消。

所以不变的和为 s = 2a:椭圆上每一点都满足 PF1+PF2 = 2a,如命题所述。

定理: 双曲线焦距差定理

若 $P(x,y)$ 在焦点为 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ 、满足 $c^2=a^2+b^2$ 的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上,则 $|PF_1-PF_2|=2a$ 。

为什么成立?

正如椭圆由焦距之和为常数构成,双曲线由焦距之差为常数构成。该定理验证了平方项之间带负号的代数方程确实产生这种差为常数的性质,并确定该常数恰为 $2a$ 。

证明

设 P(x,y) 为右支(x >= a)上一点,记 r1 = PF1,r2 = PF2。同前,r1^2 - r2^2 = (x+c)^2 - (x-c)^2 = 4cx,于是 (r1-r2)(r1+r2) = 4cx。

在双曲线上,差 r1-r2 保持符号不变,并由两支的对称性,其大小等于某个常数 d。由 r1+r2 = 4cx/d 与 r1-r2 = d 联立,得 r1 = d/2 + 2cx/d。

将其代入 r1^2 = (x+c)^2+y^2,并利用双曲线方程给出的 y^2 = b^2(x^2/a^2-1)。展开并整理 x^2 系数后,当 d = 2a 且 c^2 = a^2+b^2 时方程对所有 x 成立。

因此在右支上 r1-r2 = 2a,由镜像对称的论证,在左支上 r2-r1 = 2a,所以在所有情况下 |PF1-PF2| = 2a。

大学实际应用与典型例题

圆锥曲线出现在任何物理量以受控方式依赖于距离的场合。行星和卫星沿椭圆轨道运行,吸引它们的天体位于一个焦点上(开普勒第一定律)。抛物面镜和卫星天线把所有平行于轴的入射光线都反射到同一个焦点,这就是为什么汽车前灯反射镜、望远镜反射镜和无线电天线都做成抛物面形状。双曲线出现在如LORAN这样的导航系统中,两个固定发射台的到达时间差把接收机定位在双曲线的一支上,也出现在一些彗星等无界开放轨道的运动中。

例题: 轨道形椭圆的焦点与离心率

某卫星椭圆轨道的截面(单位:千千米)可用 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 建模。求两个焦点的坐标和轨道的离心率。

解答

由方程可知 a^2 = 25,b^2 = 9,故 a = 5,b = 3(千千米)。

由 c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 得 c = 4,故焦点为 F1(-4,0) 与 F2(4,0)。

离心率为 e = c/a = 4/5 = 0.8。由于 e 相当接近 1,该轨道明显是扁长的而非接近圆形;吸引天体(地球)位于一个焦点上,而非中心。

例题: 抛物面卫星天线的焦点

某卫星天线的截面(单位:厘米)满足 $y^2=12x$ 。求焦点,并说明为何所有沿轴平行到达的信号都会反射到该点。

解答

将 $y^2=12x$ 与 $y^2=2px$ 比较得 $2p=12$ ,故 $p=6$ 。

该位置下抛物线的焦点在 $\left(\frac{p}{2},0\right)$ ,此处即为 $(3,0)$ 。

抛物线的反射性质表明:平行于轴传播的光线经曲线反射后,总会改变方向而经过焦点(反之,从焦点发出的信号反射后成为一束平行光线)。这正是上文椭圆与双曲线定理所用几何事实的特例,对应把一个焦点推向无穷远的情形。

因此,所有平行打在天线上的无线电波都会汇聚到唯一的点 $(3,0)$ ,接收器正安放于此。

对椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ ,中心到焦点的距离 $c$ 是多少?

对双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ ,中心到每个焦点的距离 $c$ 是多少?

哪一种圆锥曲线的离心率满足 $e=1$ ?

抛物面卫星天线收集平行于其轴传来的无线电波。为了使所有反射波汇聚于一点,接收器应放在哪里?