定理已证明

双曲线焦距差定理

命题陈述

若 $P(x,y)$ 在焦点为 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ 、满足 $c^2=a^2+b^2$ 的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上,则 $|PF_1-PF_2|=2a$ 。

为什么成立?

正如椭圆由焦距之和为常数构成,双曲线由焦距之差为常数构成。该定理验证了平方项之间带负号的代数方程确实产生这种差为常数的性质,并确定该常数恰为 $2a$ 。

证明思路

设 P(x,y) 为右支(x >= a)上一点,记 r1 = PF1,r2 = PF2。同前,r1^2 - r2^2 = (x+c)^2 - (x-c)^2 = 4cx,于是 (r1-r2)(r1+r2) = 4cx。

在双曲线上,差 r1-r2 保持符号不变,并由两支的对称性,其大小等于某个常数 d。由 r1+r2 = 4cx/d 与 r1-r2 = d 联立,得 r1 = d/2 + 2cx/d。

将其代入 r1^2 = (x+c)^2+y^2,并利用双曲线方程给出的 y^2 = b^2(x^2/a^2-1)。展开并整理 x^2 系数后,当 d = 2a 且 c^2 = a^2+b^2 时方程对所有 x 成立。

因此在右支上 r1-r2 = 2a,由镜像对称的论证,在左支上 r2-r1 = 2a,所以在所有情况下 |PF1-PF2| = 2a。

用到此定理的主题

分步证明

该定理暂无分步证明。