直线与平面垂直的判定定理

以交点 $O$ 为原点,设 $\vec{u}$ 与 $\vec{v}$ 分别是 $a$ 与 $b$ 的方向向量。由于 $a$ 与 $b$ 相交且是两条不同的直线,$\vec{u}$ 与 $\vec{v}$ 线性无关,因此二者张成了平面 $(\alpha)$ 内的所有方向:任意直线 $c \subset (\alpha)$ 的方向向量都可以写成 $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$(某些实数 $\lambda, \mu$)。

设 $\vec{n}$ 为 $d$ 的一个方向向量。条件 $d \perp a$ 与 $d \perp b$ 对应内积等式 $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ 与 $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$。对平面 $(\alpha)$ 内方向为 $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ 的直线 $c$,由内积的线性性得 $\vec{n} \cdot \vec{w} = \lambda(\vec{n}\cdot\vec{u}) + \mu(\vec{n}\cdot\vec{v}) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0$。

由于 $\vec{n}$ 与任意直线 $c \subset (\alpha)$ 方向的内积都为零,所以 $d$ 与 $(\alpha)$ 内的每一条直线都垂直,这正是 $d \perp (\alpha)$ 的定义。